\documentclass[12pt]{article}

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\thispagestyle{empty}

\title{Informationssysteme - Übungsblatt 2}
\author{Jan Hendrik Dithmar - Matrikelnummer 2031259 \\
		Mi, 14-16 Uhr, Andreas Kaster
	}
\date{}

\begin{document}

\newcommand{\AND}{\ensuremath{\wedge}}
\newcommand{\OR}{\ensuremath{\vee}}
\newcommand{\SetR}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\SetN}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\SetC}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\SetZ}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\SetQ}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\SetB}{\ensuremath{\mathbb{B}}}
\newcommand{\QED}{\ensuremath{\hspace*{\fill}\square}}
\newcommand{\FLASH}{\ensuremath{\hspace*{\fill}\lightning}}
\newcommand{\OnotO}{\ensuremath{\mathcal{O}}}
\newcommand{\bild}[4]{
	\begin{figure}[htpb]
		\centering
			\includegraphics[width=#1cm]{#2}\\[0.2cm]
			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\maketitle

\newpage

\section*{Aufgabe 2.1}
Folgende Größen sind gegeben:
\begin{eqnarray*}
	P[\text{Web-Browser}|\text{Student}] & = & 0.6 \\
	P[\text{Web-Browser}|\text{Schüler}] & = & 0.8 \\
	P[\text{Web-Browser}|\text{sonstige}] & = & 0.2 \\
	P[\text{Student}] & = & 0.2 \\
	P[\text{Schüler}] & = & 0.3 \\
	P[\text{sonstige}] & = & 0.5
\end{eqnarray*}
Folgendes wird bei der nachfolgenden Rechner noch benötigt:
\begin{eqnarray*}
	P[\text{Web-Browser}] & = & P[\text{Web-Browser}|\text{Student}] \cdot P[\text{Student}] \\
	& & + P[\text{Web-Browser}|\text{Schüler}] \cdot P[\text{Schüler}] \\
	& & + P[\text{Web-Browser}|\text{sonstige}] \cdot P[\text{sonstige}] \\
	& = & 0.6 \cdot 0.2 + 0.8 \cdot 0.3 + 0.2 \cdot 0.5 \\
	& = & 0.12 + 0.24 + 0.1 \\
	& = & 0.46
\end{eqnarray*}

\subsubsection*{(a)}
\begin{eqnarray*}
	P[\text{Student}|\text{Web-Browser}] & = & \frac{P[\text{Web-Browser}|\text{Student}] \cdot P[\text{Student}]}{P[\text{Web-Browser}]} \\
	& = & \frac{0.6 \cdot 0.2}{0.46} \\
	& = & \frac{6}{23} \\
	& \approx & 0.26
\end{eqnarray*}

\subsubsection*{(b)}
\begin{eqnarray*}
	P[\text{Schüler}|\text{Web-Browser}] & = & \frac{P[\text{Web-Browser}|\text{Schüler}] \cdot P[\text{Schüler}]}{P[\text{Web-Browser}]} \\
	& = & \frac{0.8 \cdot 0.3}{0.46} \\
	& = & \frac{12}{23} \\
	& \approx & 0.52
\end{eqnarray*}


\section*{Aufgabe 2.2}
Man kennt die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
\begin{eqnarray*}
	P[H] & = & 0.2 \\
	P[W|H] & = & 0.6 \\
	P[W|\overline{H}] & = & 0.5 \\
	P[S|H] & = & 0.3 \\
	P[S|\overline{H}] & = & 0.6
\end{eqnarray*}

\subsubsection*{(a)}
\begin{eqnarray*}
	P[H|S] & = & \frac{P[S|H] \cdot P[H]}{P[S]} \\
	& = & \frac{P[S|H] \cdot P[H]}{P[S|H] \cdot P[H] + P[S|\overline{H}] \cdot P[\overline{H}]} \\
	& = & \frac{0.3 \cdot 0.2}{0.3 \cdot 0.2 + 0.6 \cdot 0.8} \\
	& = & \frac{0.06}{0.54} \\
	& \approx & 0.11
\end{eqnarray*}

\subsubsection*{(b)}
\begin{eqnarray*}
	P[H|W \AND S] & = & \frac{P[W \AND S|H] \cdot P[H]}{P[W \AND S]} \\
	& = & \frac{P[W \AND S|H] \cdot P[H]}{P[W] \cdot P[S]} \\
	& = & \frac{(P[W|H] \cdot P[S|H]) \cdot P[H]}{(P[W|H] \cdot P[H] + P[W|\overline{H}] \cdot P[\overline{H}]) \cdot (P[S|H] \cdot P[H] + P[S|\overline{H}] \cdot P[\overline{H}])} \\
	& = & \frac{0.6 \cdot 0.3 \cdot 0.2}{(0.6 \cdot 0.2 + 0.5 \cdot 0.8) \cdot (0.3 \cdot 0.2 + 0.6 \cdot 0.8)} \\
	& = & \frac{0.036}{0.52 \cdot 0.54} \\
	& \approx & 0.13
\end{eqnarray*}

\end{document}
