\documentclass[11pt, a4paper]{article}

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\begin{document}

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\thispagestyle{empty}

\title{Programmierung II - Übungsblatt 7 \\
	Übungsgruppe Do 14-16 \\	
	Andreas Augustin}
\author{Jan Hendrik Dithmar (Matrikelnummer 2031259) \\
	Dirk Heine (Matrikelnummer 2030941) \\
	Andreas Glitsch (Matrikelnummer 2026130)}
\date{}

\maketitle

\newpage

\section*{Aufgabe 2}
{\bfseries Gegeben:} $P(A) = 0.0002$; $P(B|A) = 0.999$; $P(B|A^C) = 0.01$ \\
{\bfseries Gesucht:} $P(A|B)$ \\
{\bfseries Lösung:} Nach dem Satz von Bayes gilt:
\begin{eqnarray*}
	P(A|B) & = & \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + P(A^C) \cdot P(B|A^C)} \\[0.2cm]
	& = & \frac{0.0002 \cdot 0.999}{0.0002 \cdot 0.999 + 0.9998 \cdot 0.01} \\[0.2cm]
	& = & \frac{0.0001998}{0.0101978} \\[0.2cm]
	& = & 0.01959246
\end{eqnarray*}

\section*{Aufgabe 3}
$$P(\{X=k\}) = {n \choose k} p^k q^{n-k}$$
\begin{eqnarray*}
	E(X) & = & \sum_{k=1}^n k \cdot {n \choose k} p^k q^{n-k} \\
	& = & np \sum_{k=1}^n {n-1 \choose k-1} p^{k-1} q^{n-k} \\
	& = & np \sum_{k0=}^{n-1} {n-1 \choose k} p^k q^{(n-1)-k} \\
	& = & np \cdot \underbrace{(p+q)}_{1^{n-1}} \\
	& = & np
\end{eqnarray*}

\section*{Aufgabe 4}

\subsubsection*{(i)}
Zufallsvariable $X$ geometrisch verteilt, falls gilt:
$$P(\{X=k\}) = p \cdot (1-p)^{k-1}, \quad k=1,...,n$$
$$\AND P(\{X=n+1\}) = (1-p)^n$$
\begin{eqnarray*}
	E(X) & = & \sum_{k=1}^{n+1} k \cdot P(\{X=k\}) \\
	& = & \sum_{k=1}^n k \cdot P(\{X=k\}) + (n+1) \cdot P(\{X=n+1\}) \\
	& = & \sum_{k=1}^n k \cdot p \cdot (1-p)^{k-1} + (n+1) \cdot (1-p)^n \\
	& = & p \cdot \sum_{k=1}^n k \cdot (1-p)^{k-1} + (n+1) \cdot (1-p)^n
\end{eqnarray*}
Die Hauptrechnung wird hier für folgende Zwischenüberlegung unterbrochen:\\
Für die endliche geometrische Reihe gilt:
$$\sum_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$
Durch Differenzieren folgt:
\begin{eqnarray*}
	\sum_{k=1}^n k \cdot x^{k-1} & = & \frac{-(n+1) \cdot x^n \cdot (1-x) - (1-x^{n+1}) \cdot (-1)}{(1-x)^2} \\
	& = & \frac{-n x^n + n x^{n+1} - x^n + x^{n+1} + 1 - x^{n+1}}{(1-x)^2} \\
	& = & \frac{1-x^n - n \cdot x^n (1-x)}{(1-x)^2}
\end{eqnarray*}
Setzt man $x:=1-p$, so folgt:
\begin{eqnarray*}
	\sum_{k=1}^n k \cdot (1-p)^{k-1} & = & \frac{1-(1-p)^n - n \cdot (1-p)^n \cdot p}{p^2} \\
	& = & \frac{1-(1-p)^n \cdot (1+n \cdot p)}{p^2} \quad (*)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow E(X) & \stackrel{(*)}{=} & p \cdot \frac{1-(1-p)^n \cdot (1+np)}{p^2} + (n+1)(1-p)^n \\
	& = & \frac{1-(1-p)^n (1+np) + p(n+1)(1-p)^n}{p} \\
	& = & \frac{1-(1-p)^n [1+np-pn-p]}{p} \\
	E(X) & = & \frac{1-(1-p)^{n+1}}{p}
\end{eqnarray*}
Bemerkung 1:
$$E(X) = \frac{1-(-1p)^{n+1}}{1-(1-p)} = \sum_{k=0}^n (1-p)^k$$
Bemerkung 2:
Für $n \to \infty$ ergibt sich:
$$E_\infty(X) = \sum_{k=0}^\infty (1-p)^k = \lim_{n \to \infty} \frac{1-(1-p)^{n+1}}{p} = \frac{1}{p} \quad \text{für } 0 < p \le 1$$

\subsubsection*{(ii)}
X = Anzahl der Ziehungen, bis Herr K. erstmals einen Lottosechser hat.
$$
\left. \begin{array}{c}\text{52 Ziehungen pro Jahr} \\ \text{60 Jahre lang}\end{array}\right\} \Rightarrow m = 52 \cdot 60 = 3120
$$
Verteilung $P(\{X=k\}), k=1,...,m$ mit $p = \frac{1}{{49 \choose 6}}$
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccccc}
	k & 1 & 2 & 3 & 4 & ... & m \\ \hline
	$P(\{X=k\})$ & $p$ & $(1-p)p$ & $(1-p)^2p$ & $(1-p)^3p$ & ... & $\underbrace{(1-p)^{m-1}p + (1-p)^m}_{=(1-p)^{m-1}}$
\end{tabular}
\end{center}
wobei
$$(1-p)^{m-1}p + (1-p)^m = (1-p)^{m-1}[\underbrace{p+1-p}_{=1}] = (1-p)^{m-1} \cdot 1$$
Ergebnis: Für die W-Verteilung $P(\{X=k\}), k=1,...,m$ gilt:
\begin{eqnarray*}
	P(\{X=k\}) & = & p(1-p)^{k-1}, \quad k=1,...,m-1 \\
	P(\{X=m\}) & = & p(1-p)^{m-1} + (1-p)^m = (1-p)^{m-1}
\end{eqnarray*}
Hierbei ist $$p=\frac{1}{{49 \choose 6}} = \frac{1}{13983816} \approx 7.1511238 \cdot 10^{-8}$$
Setzt man in der Formel $$E(X) = \frac{1-(1-p)^{n+1}}{p}$$ aus Teil (i) $n=m-1$, so folgt:
$$E(X) = \frac{1-(1-p)^m}{p}$$
Für $m=3120$ und $p=\frac{1}{{49 \choose 6}}$ ergibt sich:
$$E(X) = \frac{1-\left(1-\frac{1}{{49 \choose 6}}\right)^{3120}}{\frac{1}{{49 \choose 6}}} = {49 \choose 6} \cdot \left[1-\left(1-\frac{1}{{49 \choose 6}}\right)^{3120}\right] \approx 3119.60 \approx 3120$$ \QED

\end{document}
