\documentclass[12pt]{article}

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\thispagestyle{empty}

\title{}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\newcommand{\AND}{\ensuremath{\wedge}}
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\newcommand{\bild}[4]{
	\begin{figure}[htpb]
		\centering
			\includegraphics[width=#1cm]{../#2}\\[0.2cm]
			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\noindent Nach Satz 43.11 wissen wir, dass orthogonale Mengen linear unabhängig sind. Kann man umgekehrt aus einer linear unabhängigen Menge eine
orthogonale Menge konstruieren? \\
43.13 Orthogonalisierungsalgorithmus von Gram und Schmidt \\
Gegeben: $(V, \langle \cdot , \cdot \rangle)$ Prä-Hilbert-Raum mit endlich dimensionalem Unterraum $W$. $W$ habe die Basis
$\{u_1, ..., u_n\}$. \\
Gesucht: Orthogonalbasis $\{v_1,...,v_n\}$ von $W$. \\
Schritt 1:
\begin{eqnarray*}
	v_1 & := & u_1
\end{eqnarray*}
Schritt 2:
{\itshape Zeichnung} \\
$\lambda_1 v_1$ ist das Lot von $u_2$ auf $span(v_1)$. \\
Ansatz: $v_2 = u_2 - \lambda_1 v_1$ mit Forderung $\langle v_2, v_1\rangle \stackrel{!}{=} 0$. Dies erlaubt die Bestimmung von $\lambda_1$. \\
$$ 0 = \langle v_2, v_1 \rangle = \langle u_2 - \lambda_1 v_1, v_1\rangle = \langle u_2, v_1\rangle - \lambda_1 \|v_1\|^2$$
$$ \Rightarrow \lambda_1 = \frac{\langle u_2, v_1\rangle}{\|v_1\|^2}$$
$$ \Rightarrow v_2 = u_2 - \frac{\langle u_2, v_1\rangle}{\|v_1\|^2}v_1$$
Schritt n: Seien $\{v_1, ..., v_{n-1}\}$ orthogonal ($n\ge 2$). \\
Ansatz: $\displaystyle v_n = u_n - \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i v_i$ mit Forderungen $\langle v_n, v_j\rangle = 0$ für $j=1,...,n-1$.
$$ 0 = \langle v_n, v_j\rangle = \langle u_n - \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i v_i, v_j \rangle = \langle u_n,v_j\rangle - \lambda_j \langle v_j, v_j\rangle$$
$$ \Rightarrow \lambda_j = \frac{\langle u_n, v_j\rangle}{\|v_j\|^2}$$
$$ \Rightarrow v_n = u_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\langle u_n, v_j\rangle}{\|v_i\|^2}v_i$$

\noindent Das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren liefert einen konstruktiven Beweis von \\
43.14 Satz: (Existenz einer Orthogonalbasis) \\
Jeder endlich dimensionale Prä-Hilbert-Raum besitzt eine Orthogonalbasis. \\
Bemerkung: Ist der Raum vom Nullvektorraum verschieden, so erhält man eine Orthonormalbasis durch Normierung.\\
43.15 Beispiel:\\
Konstruiere aus $v_1 = (1,1,1)^T$, $v_2=(0,1,1)^T$, $v_3=(0,0,1)^T$ mit dem Gram-Schmidt-Algorithmus eine Orthogonalbasis des
euklidischen Raums $\SetR^3$. Konstruiere anschließend eine Orthonormalbasis. \\
Lösung:
\begin{eqnarray*}
	v_1	& = &		u_1=(1,1,1)^T \\
	v_2	& = &		u_2 - \frac{\langle u_2, v_1\rangle}{\|v_1\|^2}v_1 = (0,1,1)^T - \frac{2}{3}(1,1,1)^T \\
		& = &		(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})^T \\
	v_3	& = &		u_3 - \frac{\langle u_3, v_1\rangle}{\|v_1\|^2}v_1 - \frac{\langle u_3, v_2\rangle}{\|v_2\|^2}v_2 \\
		& = &		(0,0,1)^T - \frac{1}{3}(1,1,1)^T - \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}(-\frac{2}{3},\frac{1}{3}, \frac{1}{3})^T \\
		& = &		(0,0,1)^T - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})^T - (-\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})^T \\
		& = &		(0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})^T
\end{eqnarray*}
$\{v_1,v_2,v_3\}$ ist die gesuchte Orthogonalbasis im $\SetR^3$. \\
Die entsprechende Orthonormalbasis $\{q_1, q_2, q_3\}$ lautet:
\begin{eqnarray*}
	q_1	& = &		\frac{v_1}{\|v_1\|} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T \\
	q_2	& = &		\frac{v_2}{\|v_2\|} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{3}} (-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})^T = \frac{1}{\sqrt{6}}(-2,1,1)^T \\
	q_3	& = &		\frac{v_3}{\|v_3\|} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} (0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})^T = \frac{1}{\sqrt{2}} (0,-1,1)^T
\end{eqnarray*}
Ein weiteres \glqq Abfallprodukt\grqq\ des Gram-Schmidt-Verfahrens ist der \\
43.16 Satz: (Orthogonale Projektion auf Unterräume) \\
Sei $(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ ein Prä-Hilbert-Raum, $u \in V$ und sei $W$ ein endlich dimensionaler Unterraum mit Orthogonalbasis
$\{v_1,...,v_n\}$. Dann beschreibt
$$ proj_w u := \sum_{i=1}^n \frac{\langle u, v_i\rangle}{\|v_i\|^2}v_i$$
eine orthogonale Projektion von u auf $W$, d.h.\\
$\displaystyle proj_w u \in W$ und $\langle u- proj_w u, w\rangle = 0 \quad \forall w \in W$. \\
Bemerkung: Ist $\{v_1, ..., v_n\}$ eine Orthonormalbasis, gilt also
$$ proj_w u = \sum_{i=1}^n \langle u, v_i\rangle v_i$$.
Ist die Orthogonalprojektion eindeutig? \\
43.17 Def.: \\
Sei $W$ ein Unterraum eines Prä-Hilbert-Raums $(V, \langle \cdot , \cdot \rangle)$. Dann bezeichnet
$$ W^\perp := \{v \in V | \langle v_w \rangle = 0 \quad \forall w \in W\}$$
das orthogonale Komplement von $W$. \\
43.18 Satz: (Projektionssatz) \\
Sei $W$ ein endlich dimensionaler Unterraum eines Prä-Hilbert-Raums $(V, \langle \cdot , \cdot \rangle)$. Dann besitzt jedes $v \in V$ eine
eindeutige Darstellung
$$ v=w_1+w_2 $$
mit $w_1 \in W$ und $w_2 \in W^\perp$.\\
(Man schreibt auch $V=W \oplus W^\perp$ und nennt $\oplus$ direkte Summe.) \\
Beweis: \\
Es ist nur die Eindeutigkeit zu zeigen, die Existenz gilt wegen 43.16.\\
Seien $w_1,w_1' \in W$ und $w_2, w_2' \in W^\perp$ mit
\begin{eqnarray*}
	v = w_1 + w_2 & = & w_1' + w_2' \\
	\Rightarrow w_1 - w_1' & = & w_2' - w_2
\end{eqnarray*}
$w_1 - w_1' \in W$, da Unterräume abgeschlossen sind. Andererseits:
$$ \langle w_2' - w_2, w\rangle = \underbrace{\langle w_2', w\rangle}_{0 \text{ da } w_2' \in W^\perp} - \underbrace{\langle w_2, w\rangle}_{0 \text{ da } w_2 \in W^\perp} = 0 \quad \forall w \in W$$
$$ \Rightarrow w_2' - w_2 \in W^\perp$$.
Wegen $w_2' - w_2 = w_1 - w_1'$ gilt auch $w_2'-w_2 \in W$.
$$\Rightarrow 0 = \langle \underbrace{w_2'-w_2}_{\in W}, \underbrace{w_2' - w_2}_{\in W^\perp} \rangle = \|w_2' - w_2\|^2$$
$$\Rightarrow 0 = w_2' - w_2 = w_1 - w_1' \text{, d.h. } w_1 = w_1', \; w_2=w_2'$$\QED
Gibt es weitere Anwendungen der Orthogonalprojektion? \\
43.19 Satz: (Approximationssatz)\\
Sei $(V, \langle \cdot , \cdot \rangle)$ ein Prä-Hilbert-Raum mit induzierter Norm $\| \cdot \|$ und $W$ ein endlich dimensionaler Unterraum. \\
Zu $v \in V$ ist dann $proj_w v$ die beste Approximation von $v$ in $W$, d.h.
$$ \| v- proj_w v \| < \|v-w\| \quad \forall w \in W \text{ mit } w \neq proj_w v$$
Beweis:\\
\begin{eqnarray*}
\|v-w\|^2	& = & \|v- \underbrace{proj_w v}_{\in W^\perp} + \underbrace{proj_w v}_{\in W}\|^2 \stackrel{Pythagoras}{=} \|v- proj_w v\|^2 + \|proj_w v -w\|^2 \\
			& \ge & \| v - proj_w v\|^2
\end{eqnarray*}
Gleichheit gilt nur, falls $w=proj_w v$.\QED \\
43.20 Beispiel:\\
$V = C[0, \frac{\pi}{2}]$ mit Skalarprodukt $\displaystyle \langle u,v \rangle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} u(x)v(x)dx$.\\
Bestimme Gerade, die die Funktion $u(x)=sin(x)$ im Intervall $[0, \frac{\pi}{2}]$ optimal (bzgl. der induzierten Norm) approximiert. \\
Lösung: $W=span(\underbrace{1}_{v_1},\underbrace{x}_{v_2})$ Unterraum aller Geraden. \\
Gesucht: $\displaystyle proj_w u = \sum_{i=1}^2 \lambda_i v_i$ mit $\displaystyle 0 = \langle u-\sum_{i=1}^2 \lambda_i v_i, v_k\rangle \quad (k=1,2)$. \\
In unserem Fall:
\begin{eqnarray}
	0	& = &		\langle sin(x)-\lambda_1 - \lambda_2 x, 1\rangle \\
	0	& = &		\langle sin(x)-\lambda_1 - \lambda_2 x, x\rangle
\end{eqnarray}
gibt Gleichungssystem für $\lambda_1, \lambda_2$:
\begin{eqnarray*}
	\lambda_1 \langle 1,1 \rangle + \lambda_2 \langle x,1 \rangle & = & \langle sin(x), 1 \rangle \\
	\lambda_1 \langle 1,x \rangle + \lambda_2 \langle x,x \rangle & = & \langle sin(x), x \rangle
\end{eqnarray*}
Mit
\begin{eqnarray*}
	\langle 1,1 \rangle	& = &	\int_0^\frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} \\
	\langle x,1 \rangle	& = &	\langle 1,x \rangle = \int_0^\frac{\pi}{2} x dx = \frac{\pi^2}{8} \\
	\langle sin, 1 \rangle	& = &	\int_0^\frac{\pi}{2} sin(x) dx = \left[-cos(x)\right]_0^\frac{\pi}{2} = 0 -(-1) = 1 \\
	\langle x,x \rangle	& = &	\int_0^\frac{\pi}{2} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi^3}{24} \\
	\langle x, sin(x) \rangle	& = &	\int_0^\frac{\pi}{2} x \cdot sin(x) dx = \left[-x cos(x)\right]_0^\frac{\pi}{2} + \int_0^\frac{\pi}{2} cos(x)dx = 0 + \left[sin(x)\right]_0^\frac{\pi}{2} = 1
\end{eqnarray*}
lautet das System:
$$\left(\begin{array}{cc}
	\frac{\pi}{2}		&	\frac{\pi^2}{8} \\
	\frac{\pi^2}{8}	&	\frac{\pi^3}{24}
\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}
	\lambda_1 \\
	\lambda_2
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}
	1 \\
	1
\end{array}\right)$$
$$\Rightarrow \lambda_1 = 8 \frac{\pi-3}{\pi^2} \approx 0,11$$
$$\Rightarrow \lambda_2 = 24 \frac{4-\pi}{\pi^3} \approx 0,66$$


\end{document}