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\begin{document}

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\maketitle

§43: Orthogonalität \\

\noindent 43.1. Motivation:
	Das Euklidische Produkt zweier Vektoren $ u,v \in \SetR^2 $, die einen Winkel $ \theta $ einschliessen, lässt sich auch schreiben als : $ u \cdot v = \left|u\right| \cdot \left|v\right| \cdot cos \theta $. \\	
	Ist $ \theta = \frac {\pi}{2} $, so ist $u \cdot v = 0$, und  u und v nennt man orthogonale Vektoren.
	Wir wollen nun diese Begriffe des Winkels und der Orthogonalität in allgemeinen Prä-Hilbert-Räumen formulieren. Dies führt zu Darstellungen in Orthogonalbasen, die wichtige Anwendungen in der Informatik haben, z.B. in der geometrischen Datenverarbeitung, der Bildverabeitung und im Information Retrieval. \\

\noindent 43.2. Definition: Sei $ (V,<\cdot,>\cdot ) $ ein Prä-Hilbert-Raum über $\SetR$ mit induzierter Norm $\left\|\cdot\right\|$. Für nicht verschwindende Vektoren $u,v \in C$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl $\theta \in \left[o,\pi\right)$ mit $ cos \theta = \frac{\left\langle u,v\right\rangle}{\left\|u\right\|\cdot\left\|v\right\|} $, die wir als Winkel zwischen $u$ und $v$ definieren. Wir nennen $u$ und $v$ orthogonal, falls $\left\langle u,v\right\rangle = 0$ ist. \\

\noindent 43.3. Beispiele:
	a) Euklidischer Raum $\SetR^4 , u=(4,3,1,-2)^T , v=(-2,1,2,3)^T$
	$\left| u \right|= (16+9+1+4)^{1/2} = \sqrt{30} $
	$\left| v \right| = (4+1+4+9)^{1/2} = \sqrt{18} $
	
	$ u \cdot v = -8 + 3 + 2 - 6 $
	$ cos \theta = \frac{u\cdot v}{\left|u\right| \cdot \left|v\right|} = \frac{-9}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{18}} \approx -0,3873 $
	$ \Rightarrow \theta \approx 1,968 (\stackrel{\hat{}}{=}112,8°) $
	
	b) $C ( \left[-1,1\right] mit Skalarprodukt \left\langle u,v\right\rangle := \int^{1}_{-1} u(x) v(x) dx $
	Mit u(x)=x, v(x)= $x^2$ ergibt sich
	$ \left\langle u,v\right\rangle = \int^{1}_{-1} x \cdot c^2 dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]^{1}_{-1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 $	
	Die Funktionen $u(x)=x$ und $v(x)=x^2$ sind also orthogonal in $C ( \left[-1,1\right]$
	
	Verallgemeinerung von Satz 41.13.:
	
\noindent 43.4. Satz ( Satz des Pythagoras in Prä-Hilbert-Räumen )
  Sei $\left(V,\left\langle \cdot, \cdot\right\rangle\right)$ ein Prä-Hilbert-Raum über $\SetR$ und $\left\|\cdot\right\|$ die induzierte Norm. Dann gilt für orthogonale (!) Vektoren
  $u,v \in V: \left\|u+v\right\|^2 = \left\langle u+v,u+v\right\rangle = \left\|u\right\|^2 + \underbrace{2\left\langle u,v\right\rangle}_{0} + \left\|v\right\|^2. \QED $
  
\noindent 43.5. Beispiel:
	$C ( \left[-1,1\right] mit Skalarprodukt \left\langle u,v\right\rangle := \int^{1}_{-1} u(x) v(x) dx $
	Nach 43.3.(b) sind $u(x)=x$ und $v(x)=x^2$ orthogonal.
	
	$ \left\|u,v\right\|^2 = \int^{1}_{-1} (x+x^2)^2 dx = \int^{1}_{-1} (x^2+2x^3+x^4) dx = \left[\frac{x^3}{3}+2\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}\right]^{1}_{-1} = \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}  + 2 \cdot \frac{1}{4} -\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{5} = \frac{16}{15} $
	
	$\left\|u\right\|^2 = \int^{1}_{-1} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]^{1}{-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $
	$\left\|v\right\|^2 = \int^{1}_{-1} x^4 dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]^{1}{-1} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} $
	
	Wie erwartet gilt also:
	$\left\|u\right\|^2 + \left\|v\right\|^2 = \frac{2}{3} + \frac{2}{5} = \frac{15}{16} = \left\|u+v\right\|^2$.
	
	In Prä-Hilbert-Räumen ist es oft sinnvoll, Basen zu wählen, deren Elemente paarweise orthogonal sind.

\noindent 43.6. Definition:
	Eine Menge von Vektoren in einem Prä-Hilbert-Raum heisst orthogonale Menge, wenn ihre Elemente paarweise orthogonal sind. Haen sie ausserdem die induzierte Norm 1, so heisst die Menge orthonaormal. Bildet eine Basis eines Prä-Hilbert-Raumes eine orthogonale (orthonormale) Menge, sprichtman von einer Orthogonalbasis (Orthonormalbasis).
	
\noindent 43.7. Beispiele:
  $u_1 = (0,1,0)^T , u_2 = (1,0,1)^T , u_3 = (1,0,-1)^T$ bilden eine orthogonale Menge im Euklidischen Raum $\SetR^3$, denn es gilt:
  
  $u_1 \cdot u_2 = 0, u_1 \cdot u_3 = 0, u_2 \cdot u_3 = 0$
  
  Zwar ist $ \left|u_1\right| = 1$, aber wegen $\left|u_2\right| = \sqrt{2} = \left|u_3\right|$ ist $\left\{u_1,u_2,u_3\right\}$ keine orthonormale Menge. Um eine orthonormale Menge $\left\{v_1,v_2,v_3\right\}$ zu erhalten, muss man durch die Euklidischen Normen dividieren. 
  
  $v_1 = \frac{u_1}{\left|u_1\right|} = (0,1,0)^T , v_2 = \frac{u_2}{\left|u_2\right|} = ( \frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}, v_3 = \frac{u_3}{\left|u_3\right|} = ( \frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}}
$

\noindent 43.8. Satz: ( Koordinatendarstellung in Orthonormalbasis )
 Sei $S = \left\{v_1,...,v_n\right\}$ eine Orthonormalbasis eines endlich dimensionalen Prä-Hilbert-Raums $(V,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle)$. Dann gilt für jeden Vektor $u \in V$:
 
 $ u = \left\langle u,v_1\right\rangle v_1 + \left\langle u,v_2\right\rangle v_2 + ... + \left\langle u,v_n\right\rangle v_n $
 
 
 Beweis: Da S Basis ist, existieren $\alpha_1,...\alpha_n$ mit $ \displaystyle u = \sum^n_{i=0} \alpha_i v_i $.
 
 $\displaystyle \Rightarrow \left\langle u,v_k\right\rangle = \left\langle sum^n_{i=0} \alpha_i v_i , v_k\right\rangle = \sum^n_{i=0} \alpha_i \left\langle v_i,v_k\right\rangle = \alpha_k$, da $\left\langle v_i,v_k \right\rangle = 1$ falls $(i=k)$, sonst 0 . 
 
 Dies gilt für alle $ k \in \left\{1,...,n\right\} \QED $
 
\noindent 43.9. Beispiel: 
 $ v_1 = (0,1,0)^T, v_2 = (-4/5, 0, 3/5)^T, v_3 = (3/5, 0, 4/5)^T$
 bilden eine Orthonormalbasis des Euklidischen Raumes $\SetR^3$. Man schreibe $(1, 2, 7)^T$ als Linearkombination von $v_1, v_2, v_3$.
 
 $u \cdot v_1 = 2$
 $u \cdot v_2 = - \frac{4}{5} + 7 \cdot \frac{3}{5} = \frac{17}{5} $
 $u \cdot v_3 = \frac{3}{5} + 7 \cdot \frac{4}{5} = \frac{31}{5} $
 
 $\Rightarrow (1,2,7)^T = 2\cdot (0,1,0)^T + \frac{17}{5} \cdot (-4/5, 0, 3/5)^T + \frac{31}{5} \cdot (3/5, 0, 4/5)^T$.
 
\noindent 43.10. Satz ( Koordinatendarstellung in Orthogonalbasis )
  Sei $S = \left\{v_1,...v_n\right\}$ eine Orthogonalbasis eines endlich dimensionalen Prä-Hilbert-Raumes $(V,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle $ mit induzierter Norm $\left\|\cdot\right\|$.
  
  Dann gilt für jedes $u \in V$:
  
  $ u = \frac{\left\langle u,v_1\right\rangle}{\left\|v_1\right\|^2}v_1 + ... + \frac{\left\langle u,v_n\right\rangle}{\left\|v_n\right\|^2}v_n $
  
  Beweis: 
  Aus der Orthogonalbasis S erhält man durch Normierung die Orthonormalbasis $S' = \left\{ \frac{v_1}{ \left\|v_1\right\| } , ... , \frac{v_n}{ \left\|v_n\right\| } \right\}$. Nach Satz 43.8. gilt:
  
  $ u = \left\langle u, \frac{v_1}{\left\|v_1\right\| }\right\rangle \frac{v_1}{\left\|v_1\right\| } + ... + \left\langle u, \frac{v_n}{\left\|v_n\right\| }\right\rangle \frac{v_n}{\left\|v_n\right\|}$
  $ = \frac{\left\langle u,v_1\right\rangle}{\left\|v_1\right\|^2}v_1 + ... + \frac{\left\langle u,v_n\right\rangle}{\left\|v_n\right\|^2}v_n. \QED $
  
  Bemerkung: Unter Zusatzvorraussetzungen gelten ähnliche Aussagen in unendlich dimensionalen Prä-Hilbert-Räumen.
  
\noindent 43.11. Satz: ( Lineare Unbhängigkeit orthogonaler Mengen )
  Eine orthogonale Menge $S = \left\{v_1,...,v_n\right\}$ aus von $0$ verschiedenen Elementen ist linear unabhängig.
  
  Beweis: Wir zeigen, dass aus $\displaystyle \sum^n_{i=0} \alpha_i v_i = 0 $stets folgt dass $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n = 0$.
  
  Sei also $\displaystyle \sum^n_{i=0} \alpha_i v_i = 0$. Dann gilt für jedes $v_k , k \in \left\{1,...,n\right\}$ 

  $\displaystyle  0 = \left\langle 0,v_k\right\rangle = \left\langle \sum^n_{i=0} \alpha_i v_i, v_k\right\rangle = \sum^n_{i=0} \alpha_i \left\langle v_i,v_k\right\rangle = \underbrace{\alpha_k \left\|v_k\right\|^2}_{\neq 0}$ da $\left\langle v_i,v_k\right\rangle = 0$ für $i \neq k  \Rightarrow \alpha_k = 0 \QED $

\end{document}