\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{ngerman,a4}
\usepackage{amstext}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{alltt}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage{graphicx}

\thispagestyle{empty}

\title{}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\newcommand{\AND}{\ensuremath{\wedge}}
\newcommand{\OR}{\ensuremath{\vee}}
\newcommand{\SetR}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\SetN}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\SetC}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\SetZ}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\SetQ}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\SetB}{\ensuremath{\mathbb{B}}}
\newcommand{\QED}{\ensuremath{\hspace*{\fill}\square}}
\newcommand{\FLASH}{\ensuremath{\hspace*{\fill}\lightning}}
\newcommand{\OnotO}{\ensuremath{\mathcal{O}}}
\newcommand{\bild}[4]{
	\begin{figure}[htpb]
		\centering
			\includegraphics[width=#1cm]{../#2}\\[0.2cm]
			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\noindent §54: TOTALE DIFFERENZIERBARKEIT \\[0.8cm]
54.1 Motivation: \\
Für eine skalarwertige Funktion $f$ einer reellen Variablen bedeutet Differenzierbarkeit in $\xi$, dass der Graph der Funktion in $\xi$ eine
Tangente besitzt mit Steigung $f'(\xi)$.
$$f'(\xi) = \lim_{x \to \xi} \frac{f(x) - f(\xi)}{x-\xi}$$
Die Funktion $f(x)$ wird in einer Umgebung von $\xi$ gut durch eine lineare Funktion $g(x)=f'(\xi) (x-\xi) + f(\xi)$ approximiert, d.h.
$$\lim_{x \to \xi} \frac{f(x)-(f'(\xi)(x-\xi) + f(\xi))}{x-\xi}=0$$
Wir wollen nun dieses Konzept auf vektorwertige Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinern. \\[0.5cm]
54.2 Def.:\\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen. Eine Funktion $f: D \to \SetR^m$ heißt in $\xi \in D$ (total, vollständig) differenzierbar, falls es eine lineare
Abbildung $g(x) = A(x-\xi) + f(\xi)$ mit $A \in \SetR^{m \times n}$ gibt, sodass
$$\lim_{x\to\xi} \frac{f(x)-(A(x-\xi)+f(\xi))}{|x-\xi|} = 0$$
Wie hängen totale und partielle Differenzierbarkeit zusammen? \\[0.5cm]
54.3 Satz: (Partielle und totale Differenzierbarkeit) \\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen, $\xi \in D$ und $f: D \to \SetR^m$. Dann gilt:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Totale Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit: \\
		Ist $f$ in $\xi$ differenzierbar, so ist $f$ auch stetig in $\xi$.
	\item Totale Differenzierbarkeit impliziert partielle Differenzierbarkeit:\\
		Ist $f$ in $\xi$ total differenzierbar, so ist $f$ in $\xi$ auch partiell differenzierbar. Die zugehörige Matrix der linearen Approximation
		ist identisch mit der Jacobi-Matrix $Jf(\xi)$.
	\item Stetige partielle Differenzierbarkeit impliziert totale Differenzierbarkeit: \\
		Ist $f$ eine $C^1$-Funktion auf $D$, so ist $f$ auf $D$ auch total differenzierbar.
\end{enumerate}
Beweis: Wir zeigen nur Teil (a) und Teil (b).
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Ist $f$ in $\xi$ differenzierbar, so folgt wegen
		$$\lim_{x\to\xi} \frac{f(x) - (A(x-\xi)+f(\xi))}{|x-\xi|}=0$$
		und der Stetigkeit der euklidischen Norm, dass
		$$\lim_{x\to\xi} |f(x) - A(x-\xi) - f(\xi)| = 0$$
		Dann gilt:
		$$|f(x)-f(\xi)| \le |\underbrace{f(x)-f(\xi)-A(x-\xi)}_{\to 0 \text{ für } x\to\xi}| + |\underbrace{A(x-\xi)}_{\to 0 \text{ für } x\to\xi}| \to 0 \text{ für } x\to\xi$$
		Das beweist die Stetigkeitsaussage $\displaystyle \lim_{x\to\xi}f(x) = f(\xi)$
	\item Mit den kanonischen Einheitsvektoren $e_j = (0,...,0,\underbrace{1}_{j\text{-te Stelle}},0,...,0)^T$ und $x=\xi +he_j$ folgt aus
		der totalen Differenzierbarkeit:
		\begin{eqnarray*}
			\underbrace{\frac{f(x)-f(\xi)-A(x-\xi)}{\|x_\xi\|_\infty}}_{\to 0 \text{ für } x\to\xi} & = & \frac{f(\xi + he_j)-f(\xi)}{|h|} - \frac{hAe_j}{|h|} \\
			& = & \frac{h}{|h|} \left(\frac{f(\xi+he_j) - f(\xi)}{h} - Ae_j\right)
		\end{eqnarray*}
		$$ \Rightarrow \lim_{h\to0} \frac{f(\xi+he_j)-f(\xi)}{h} = Ae_j \quad j\text{-te Spalte von }A$$
		d.h. $f$ ist partiell differenzierbar und $\displaystyle \frac{\partial f_i}{\partial x_j} = a_{ij}$
\end{enumerate}
Gelten ähnliche Differentiationsregeln wie bei skalarwertigen Funktionen einer Variablen? Man kann zeigen:\\[0.5cm]
54.4 Satz: (Differentialtionsregeln)
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Linearität: \\
		Sei $D \subset \SetR^n$ offen und $f,g: D \to \SetR^m$ seien differenzierbar in $\xi \in D$. Für alle $\alpha, \beta \in \SetR$ ist dann
		$\alpha f(x) + \beta g(x)$ in $\xi$ differenzierbar und es gilt:
		$$J(\alpha f + \beta g)(\xi) = \alpha Jf(\xi) + \beta Jg(\xi)$$
	\item Kettenregel: \\
		Sei $D \subset \SetR^n, E \subset \SetR^m$ offen, $f: D \to \SetR^m$ in $\xi \in D$ differenzierbar und $g: E \to \SetR^k$ in $f(\xi)$
		differenzierbar. Dann ist die Verknüpfung $g \circ f$ ebenfalls in $\xi$ differenzierbar und es gilt:
		$$J(g \circ f)(\xi) = \underbrace{Jg(f(\xi))}_{\text{\glqq äußere Ableitung\grqq}} \cdot \underbrace{Jf(\xi)}_{\text{\glqq innere Ableitung\grqq}}$$
\end{enumerate}
54.5 Bemerkung: \\
Ein wichtiger Spezialfall dieser Kettenregel ergibt sich für $n=k=1$:
$$\SetR \overset{f}{\longrightarrow} \SetR^m \overset{g}{\longrightarrow} \SetR$$
Wir betrachten also $(g \circ f)(x) = g(f_1(x), ..., f_m(x))$.
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow (g \circ f)'(\xi) & = & Jg(f(\xi)) \cdot Jf(\xi) \\
	& = & \nabla^T g(f(\xi)) \cdot \left(\begin{array}{c}f_1'(\xi) \\ \vdots \\ f_m'(\xi)\end{array}\right) \\
	& = & \sum_{k=1}^m \frac{\partial g}{\partial y_k} (f(\xi)) \cdot f_k'(\xi)
\end{eqnarray*}

\newpage
\noindent §55: DER MITTELWETSATZ UND DER SATZ VON TAYLOR \\[0.8cm]
55.1 Motivation: \\
Ab jetzt betrachten wir wieder skalarwertige Funktionen mehrerer Variablen. Wir wollen dabei weitere Resultate von Funktionen einer Variablen
übertragen. \\
Gibt es einen vergleichbaren Mittelwertsatz und einen entsprechenden Satz von Taylor? \\[0.5cm]
55.2 Satz: (Mittelwertsatz) \\
Sei $D \in \SetR^n$ offen und $f: D \to \SetR$ differenzierbar auf $D$. Ferner seien $a,b \in D$ Punkte, deren Verbindungsstrecke
$$[a,b] := \{a+t(b-a) \quad | \quad t \in [0,1]\}$$
ganz in $D$ liegt. Dann gibt es eine Zahl $\theta \in (0,1)$ mit
$$f(b)-f(a) = \nabla^T f(a+\theta(b-a)) \cdot (b-a)$$
Beweis: \\
Wir parametrisieren die Verbindungsstrecke $[a,b]$ so, dass wir den Mittelwertsatz für Funktionen einer Variablen anwenden können. \\
Setze $h(t) := f(a+t(b-a)), t \in [0,1]$. $h(t)$ ist stetig auf $[0,1]$ und nach der Kettenregel 54.4 (b) auch differenzierbar auf $(0,1)$.
Somit sind die Voraussetzungen für den Mittelwertsatz einer Variablen erfüllt und es gilt:
\begin{eqnarray*}
	f(b) - f(a) & = & h(1) - h(0) \\
	& = & h'(\theta) \cdot (1-0) \quad \text{mit } 0 < \theta < 1 \\
	& = & \nabla^T f(a+\theta(b-a)) (b-a) \quad \text{Kettenregel 54.5}
\end{eqnarray*} \QED
55.3 Bemerkung: \\
Gilt die Bedingung $[a,b] \subset D$ für alle Punkte $a,b \in D$, so heißt die Menge $D$ konvex. Bei konvexen Mengen gilt der Mittelwertsatz
also für beliebige Punkte $a,b \in D$. \\[0.5cm]
55.4 Beispiel: \\
Sei $f(x,y) = cos(x) + sin(y), \quad a=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}\frac{\pi}{2} \\[0.2cm] \frac{\pi}{2}\end{array}\right)$. \\
Es gilt: $\displaystyle f(0,0) = 1 = f\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ \\
Nach dem Mittelwertsatz existiert also ein $\theta \in (0,1)$ mit
\begin{eqnarray*}
	0 & = & f\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) - f(0,0) = \nabla^T f\left(\theta\left(\begin{array}{c}\frac{\pi}{2} \\[0.2cm] \frac{\pi}{2}\end{array}\right) \right) \cdot \left(\begin{array}{c}\frac{\pi}{2} \\[0.2cm] \frac{\pi}{2}\end{array}\right) \\
	& = & \frac{\pi}{2} \left(cos \left(\theta \frac{\pi}{2}\right) - sin\left(\theta \frac{\pi}{2}\right)\right)
\end{eqnarray*}
In der Tat ist diese Gleichung für $\displaystyle \theta = \frac{1}{2}$ erfüllt.

\end{document}