\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}

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	\begin{figure}[htpb]
		\centering
			\includegraphics[width=#1cm]{../#2}\\[0.2cm]
			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\noindent §53: ABLEITUNGSOPERATOREN FÜR VEKTORWERTIGE FUNKTIONEN \\[0.8cm]
53.1 Motivation: \\
Vektorwertige Funktionen mehrerer Variablen treten in der Informatik z.B. bei der Verarbeitung von Farbbildern auf. Kontinuierliche Farbbilder lassen
sich als Funktionen $f: D \rightarrow \SetR^3$ auffassen. $D$ ist ein rechteckiger Bildbereich und der Wertebereich umschreibt die drei Kanäle
rot, grün, blau. \\
Wie verallgemeinert man Konzepte wie partielle Ableitungen und Gradienten auf vektorwertige Funktionen? \\[0.5cm]
53.2 Def.: \\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen und $\xi \in D$. Die vektorwertige Funktion $f: D \rightarrow \SetR^m$ heißt partiell differenzierbar in $\xi$, falls
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\xi) := \lim_{h \to 0} \frac{f(\xi+he_i)-f(\xi)}{h}$$
für $i=1,...,n$ existiert. (Dabei ist der Grenzwert vektorwertiger Funktionen im Sinne der euklidischen Norm zu verstehen). \\[0.5cm]
53.3 Bemerkung: \\
Die partiellen Ableitungen lassen sich komponentenweise berechnen.
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\xi) = \left(\begin{array}{c}\frac{\partial f_1}{\partial x_i}(\xi) \\ \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_i}(\xi)\end{array}\right) \quad (i=1,...,n)$$
Diese $m \cdot n$ partiellen Ableitungen lassen sich als Einträge einer $m \times n$-Matrix interpretieren. Sie ist die Verallgemeinerung des
Gradienten auf den vektorwertigen Fall. \\[0.5cm]
53.4 Def.: \\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen, $\xi \in D$ und $f: D \rightarrow \SetR^m$ partiell differenzierbar in $\xi$. Dann heißt
$$Jf(\xi) := \left(\begin{array}{c}\nabla^T f_1(\xi) \\ \vdots \\ \nabla^T f_m(\xi)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\xi) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\xi) \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\xi) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\xi)\end{array}\right)$$
Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix) von $f$ in $\xi$. \\[0.5cm]
53.5 Bemerkungen:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Verwechsle nicht die Hesse-Matrix (2. Ableitung einer skalarwertigen Funktion) mit der Jacobi-Matrix (1. Ableitungen einer
		vektorweritgen Funktion).
	\item I.A. ist die Jacobi-Matrix weder quadratisch noch symmetrisch.
	\item Gelegentlich schreibt man statt $Jf$ auch $Df$ oder $f'$.
\end{enumerate}
53.6 Beispiel: \\
Die Jacobi-Matrix der Funktion $f: \SetR^2 \rightarrow \SetR^3$ mit
$$f: \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{c}x^2y \\ cos(y) \\ e^{xy}\end{array}\right)$$
lautet:
$$Jf(x,y) = \left(\begin{array}{cc}2xy & x^2 \\ 0 & -sin(y) \\ ye^{xy} & xe^{xy}\end{array}\right)$$ \\[0.5cm]
53.7 Def.: \\
Im Fall $m=n$ ist $f: D \rightarrow \SetR^n$ mit $D \subset \SetR^n$ ein Vektorfeld auf $D$. Ist jede Komponentenfunktion $f_i(x)$ eine
$C^k$-Funktion, so ist $f(x)$ ein $C^k$-Vektorfeld. \\[0.3cm]
Bemerkung: \\
Beispiele für Vektorfelder sind Geschwindigkeitsfelder strömender Gase oder der Temperaturgradient innerhalb eines Körpers. \\[0.5cm]
53.8 Def.: \\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen. Für ein partiell differenzierbares Vektorfeld $f: D \rightarrow \SetR^n$ definiert man die Divergenz durch
$$div \: f (\xi) := \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_i}(\xi)$$ \\[0.5cm]
Bemerkung:\\
Formal kann man die Divergenz als Skalarprodukt aus Nabla-Operator und Vektorfeld auffassen. Man schreibt daher manchmal auch
$\langle \nabla, f\rangle$, $\nabla^Tf$ oder $\nabla \cdot f$. \\[0.5cm]
Man zeigt leicht:\\
53.9 Satz: (Rechenregeln für die Divergenz) \\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen. Für partiell differenzierbare Vektorfelder $f,g: D \rightarrow \SetR^n$ und einer skalarwertigen Funktion
$\varphi: D \rightarrow \SetR$ gilt:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Linearität: $div(\alpha f + \beta g) = \alpha\; div\: f + \beta\; div\: g \quad \forall \alpha, \beta \in \SetR$
	\item Produktregel: $div(\varphi f) = (\nabla \varphi)^T f + \varphi\; div\: f$
\end{enumerate}
53.10 Bemerkungen:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Obwohl der Nabla-Operator und die Divergenz ähnlich aussehen, unterscheiden sie sich in ihrer Wirkung sehr stark:
		\begin{itemize}
			\item Der Nabla-Operator erzeugt aus einer skalarwertigen Funktion eine vektorwertige Funktion.
			\item Die Divergenz macht aus einem Vektorfeld eine skalarwertige Funktion.
		\end{itemize}
	\item Mit Hilfe der Divergenz kann man den Laplace-Operator umschreiben: \\
		Ist $f: D \rightarrow \SetR$ eine skalarwertige $C^2$-Funktion (meherer Variablen), so gilt
		$$\Delta f = div(\nabla f)$$
		Somit kann man z.B. die Diffusionsgleichung $u_t = \Delta u$ umschreiben in $u_t = div(\nabla u)$.
\end{enumerate}
Neben der Divergenz gibt es noch einen weiteren wichtigen Ausdruck für Vektorfelder. \\[0.5cm]
53.11 Def.:\\
Sei $D \subset \SetR^3$ offen. Für ein partiell differenzierbares Vektorfeld $f: D \rightarrow \SetR^3$ definiert man die Rotation in $\xi \in D$
durch
$$rot\: f(\xi) = \left(\begin{array}{c}\frac{\partial f_3}{\partial x_2}(\xi) - \frac{\partial f_2}{\partial x_3}(\xi) \\ \\ \frac{\partial f_1}{\partial x_3}(\xi) - \frac{\partial f_3}{\partial x_1}(\xi) \\ \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(\xi) - \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(\xi)\end{array}\right)$$
53.12 Bemerkung:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Die Rotation ist nur für Vektorfelder im $\SetR^3$ definiert.
	\item Für zwei Vektoren $\displaystyle v=\left(\begin{array}{c}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{array}\right)$ und $\displaystyle w=\left(\begin{array}{c}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{array}\right) \in \SetR^3$ kann
		man das Kreuzprodukt $v \times w$ definieren durch
		$$v \times w = \left(\begin{array}{c}v_2w_3 - v_3w_2 \\ v_3w_1 - v_1w_3 \\ v_1w_2 - v_2w_1\end{array}\right) = \left|\begin{array}{ccc}e_1 & v_1 & w_1 \\ e_2 & v_2 & w_2 \\ e_3 & v_3 & w_3\end{array}\right|$$
		mit den kanonischen Einheitsvektoren $e_1 = (1,0,0)^T$, $e_2 = (0,1,0)^T$ und $e_3 = (0,0,1)^T$.
	\item Mit $\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, \frac{\partial}{\partial x_3}\right)^T$ kann man
		$rot \: f$ auch formal als Kreuzprodukt $\nabla \times f$ schreiben.
\end{enumerate}
53.13 Beispiel: \\
$f: \SetR^3 \rightarrow \SetR^3$ mit $f(x,y,z) = \left(\begin{array}{c}3x^2-y-z \\ z^2 + x^2 \\ y + 2x^2\end{array}\right)$
$$rot \: f = \left(\begin{array}{c}\frac{\partial f_3}{\partial y} - \frac{\partial f_2}{\partial z} \\ \\ \frac{\partial f_1}{\partial z} - \frac{\partial f_3}{\partial x} \\ \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1-2z \\ -1-4x \\ 2x-3x^2\end{array}\right)$$
Man kann ähnliche Rechenregeln wie beim Divergenzoperator zeigen: \\[0.5cm]
53.14 Satz: (Rechenregeln für die Rotation) \\
Sei $D \subset \SetR^3$ offen. Für partiell differenzierbare Vektorfelder $f,g: D \rightarrow \SetR^3$ und eine skalarwertige Funktion
$\varphi: D \rightarrow \SetR$ gilt:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Linearität: $rot(\alpha f + \beta g) = \alpha \; rot\: f + \beta\; rot\: g \quad \forall \alpha, \beta \in \SetR$
	\item Produktregel: $rot(\varphi f) = (\nabla \varphi) \times f + \varphi \; rot\: f$
\end{enumerate}

\end{document}