\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}

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	\begin{figure}[htpb]
		\centering
			\includegraphics[width=#1cm]{../#2}\\[0.2cm]
			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\noindent Im Gradienten treten alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung auf. Gibt es einen Ausdruck, in dem alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung
auftreten? \\[0.5cm]
52.11 Def.: \\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen und $f: D \rightarrow \SetR$ in $\xi \in D$ zweimal partiell differenzierbar. Dann nennt man die Matrix
$$ Hf (\xi) := \left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(\xi) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(\xi) & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}(\xi) \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(\xi) & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 x_n}(\xi) \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n x_1}(\xi) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n x_2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(\xi)\end{array}\right)$$
die Hesse-Matrix von $f$ in $\xi$. \\[0.3cm]
Bemerkung:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Für eine $C^2$-Funktion ist die Hesse-Matrix nach dem Vertauschbarkeitssatz von Schwarz symmetrisch.
	\item Wir werden sehen, dass die Hesse-Matrix eine große Rolle bei der Klassifikation von Extrema einer Funktion mehrerer Variablen
		spielt (Unterscheidung Maxima-Minima usw.).
\end{enumerate}
Ähnlich wie wir aus $\nabla f$ die wichtige rotationsinvariante Größe $|\nabla f|$ hergeleitet haben, können wir auch aus $Hf$ eine
rotationsinvariante skalare Größe gewinnen. Hierzu betrachten wir die Summe der Diagonalelemente (Spur) von $f$. \\[0.5cm]
52.12 Def.:\\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen und $f: D\rightarrow \SetR$ in $\xi \in D$ zweimal stetig differenzierbar. Dann nennt man
$$ \Delta f(\xi) := \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} $$
den Laplace-Operator von $f$ in $\xi$. \\[0.3cm]
Bemerkung:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Beachte den Unterschied zwischen dem Nabla-Operator $\nabla$ und dem Laplaceoperator $\Delta$.
	\item In der Bildverarbeitung verwendet man beispielsweise den Laplace-Operator zur Lokalisierung von Kanten. Kanten werden definiert
		als die Orte, an denen der Laplace-Operator einen Nulldurchgang aufweist.
\end{enumerate}
52.13 Anwendung: (Partielle Differentialgleichungen) \\
Viele Prozesse in der Physik und den Ingenieurswissenschaften lassen sich durch Gleichungen beschreiben, die Beziehungen zwischen einer
gesuchten Funktion (z.B. Druckverteilung, Temperaturverteilung) und ihren partiellen Ableitungen der Ordnung $\le 2$ festlegt (partielle
Differentialgleichung 2. Ordnung). \\[0.3cm]
Beispiele:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Laplace-Gleichung (Potentialgleichung)
		$$\Delta u = 0$$
		Spielt z.B. eine Rolle bei statischen Problemen in der Elastizitätstheorie. Funktionen, die die Laplace-Gleichung erfüllen, nennt man
		auch harmonische Funktionen.
	\item Wellengleichung
		$$u_{tt} = \Delta u$$
		Tritt bei Schwingungsproblemen auf, z.B. in der Ausbreitung von Schallwellen. $t$ beschreibt hierbei die Zeit und
		$$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$$
		misst die örtliche Veränderung.
	\item Diffusionsgleichung, Wärmeleitungsgleichung
		$$u_t = \Delta u$$
		Beschreibt die Dynamik von Ausgleichsprozessen wie Diffusion und Wärmeleitung. $u$ ist hierbei die Konzentration bzw. Temperatur
		und $t$ ist die Zeit. In der Bildverarbeitung verwendet man Diffusionsprozesse zum Entrauschen (Diffusionsfilter). $u$ beschreibt
		dann den Grauwert und die \glqq Diffusionszeit\grqq\ ist ein Maß für die Glättung.
\end{enumerate}
Bisher haben wir nur Ableitungen einer Funktion $f$ von mehreren Variablen $x_1,..., x_n$ längs der Korrdinatenrichtungen $e_1,...,e_n$
betrachtet. Können wir dies auf beliebige Richtungen verallgemeinern? \\[0.5cm]
52.14 Def.:\\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen, $f: D \rightarrow \SetR$ und $\xi \in D$. Für einen Vektor $v \in \SetR^n$ mit $|v|=1$ heißt
$$D_vf(\xi) := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(\xi + hv) - f(\xi)}{h}$$
die Richtungsableitung (Gateaux-Ableitung) von $f$ in Richtung $v$. \\[0.5cm]
52.15 Bemerkungen:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Für $v=e_i$ heißt die Richtungsableitung gerade die $i$-te partielle Ableitung:
		$$D_{e_i}f(\xi) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(\xi)$$
		Dies folgt sofort aus Def. 52.2 und Def. 52.14.
	\item Statt $D_vf$ schreibt man auch $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}$ oder $f_v$.
	\item Die Richtungsableitung $D_vf(\xi)$ beschreibt den Anstieg (die Steigung) von $f(\xi)$ in der Richtung $v$.
\end{enumerate}
Gibt es ein einfaches Verfahren, wie man Richtungsableitungen berechnet? Man kann zeigen: \\[0.5cm]
52.16 Satz: (Darstellung der Richtungsableitung durch den Gradienten)\\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen, $\xi \in D$ und $f: D \rightarrow \SetR$ sei in $\xi$ stetig differenzierbar. Dann existiert die Richtungsableitung
$D_vf$ für jeden Einheitsvektor $v \in \SetR^n$. Es gilt:
$$D_vf (\xi) := v^T \nabla f(\xi)$$ \\[0.5cm]
52.17 Beispiel:
$$f(x,y) = e^{-x} sin(y)$$
Gesucht ist die Richtungsableitung in Richtung $\left(\begin{array}{c}\frac{3}{5} \\[0.1cm] \frac{4}{5}\end{array}\right)$ im Punkt $\left(\begin{array}{c}0 \\ \frac{\pi}{6}\end{array}\right)$.
\begin{eqnarray*}
	f_x(x,y) & = & -e^{-x} sin(y) \Rightarrow f_x\left(0,\frac{\pi}{6}\right) = (-1) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \\
	f_y(x,y) & = & e^{-x} cos(y) \Rightarrow f_y\left(0,\frac{\pi}{6}\right) = 1 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \\
	(D_vf)\left(0,\frac{\pi}{6}\right) & = & v^T \cdot \nabla f\\
	& = & \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \\
	& = & -\frac{3}{10} + \frac{2}{5}\sqrt{3}
\end{eqnarray*}
52.18 Bemerkungen:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Für $\nabla f \ne 0$ nimmt die Richtungsableitung ihren größten Wert für $\displaystyle v=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$ an. Dann gilt:
		$$D_vf = \frac{\nabla f^T}{|\nabla f|} \nabla f = \frac{|\nabla f|^2}{|\nabla f|} = |\nabla f|$$
		Daher zeigt der Gradient in Richtung des steilsten Anstiegs.
	\item In der Gegenrichtung $\displaystyle v=-\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$ gilt:
		$$D_vf = -\frac{\nabla f^T}{|\nabla f|} \nabla f = -|\nabla f|$$
	\item Wählt man eine Richtung $v$, die orthogonal zu $\nabla f$ ist, erhält man 
		$$D_vf = \frac{(\partial f^\perp)^T}{|\partial f^\perp|} \nabla f = 0$$
\end{enumerate}
Somit ist die Steigung Null, wenn wir uns senkrecht zum Gradienten bewegen: $\nabla f(\xi)$ steht in $\xi$ senkrecht zur Höhenlinie
$\{ x \in D \; | \; f(x) = f(\xi)\}$.

\end{document}