\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{ngerman,a4}
\usepackage{amstext}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{alltt}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage{graphicx}

\thispagestyle{empty}

\title{}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\newcommand{\AND}{\ensuremath{\wedge}}
\newcommand{\OR}{\ensuremath{\vee}}
\newcommand{\SetR}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\SetN}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\SetZ}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\SetQ}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\SetB}{\ensuremath{\mathbb{B}}}
\newcommand{\QED}{\ensuremath{\hspace*{\fill}\square}}
\newcommand{\FLASH}{\ensuremath{\hspace*{\fill}\lightning}}
\newcommand{\OnotO}{\ensuremath{\mathcal{O}}}
\newcommand{\bild}[4]{
	\begin{figure}[htpb]
		\centering
			\includegraphics[width=#1cm]{../#2}\\[0.2cm]
			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\noindent §73: ROBUSTE STATISTIK \\[0.8cm]
73.1 Motivation: \\
Will man aus realen Daten statistische Parameter schätzen (z.B. arithmetisches Mittel als Schätzer für Erwartungswert; Parameter einer Regressionskurve), kann es sein, dass das Ergebnis auf Grund von Ausreißern stark verfälscht wird. \\
Bsp.: \\
9 Studierende benötigen 10 Semester für ihr Studium. 1 benötigt 40 Semester. Das arithmetische Mittel liefert eine mittlere Studiendauer von 13 Semestern. Sie ist jedoch nicht repräsentativ für die Mehrzahl der Studierenden. \\[0.3cm]
Gibt es statistische Verfahren, die robuster gegenüber Ausreißern sind? \\[0.5cm]
73.2 Median \\
Sei $X$ eine Zufallsvariable. Dann nennt man jede Zahl $\mu_m$ mit $P(X \ge \mu_m) \ge \frac{1}{2}$ und $P(X \le \mu_m) \ge \frac{1}{2}$ einen Median von $X$. \\
Für die Verteilungsfunktion $F$ gilt:
$$F(\mu_m) = \frac{1}{2}$$
73.3 Bemerkungen
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Nicht immer gibt es einen eindeutigen Median. Gibt es ein Intervall $[a,b]$ mit $P(X \le a) = \frac{1}{2}$ und $P(X \ge b) = \frac{1}{2}$, ist jede Zahl aus $[a,b]$ ein Median.
	\item I.A. stimmen Median und Erwartungswert nicht überein.
\end{enumerate}
73.4 Empirischer Median \\
Hat man $2k+1$ der Größe nach geordnete Messwerte $x_1 \le x_2 \le ... \le x_{2k+1}$, dann nennt man $$\hat{\mu}_m := x_{k+1}$$ den (empirischen) Median. \\
Es sind $50\%$ der Daten $\ge \hat{\mu}_m$ und $50\%$ sind $\le \hat{\mu}_m$. \\
Bei einer geraden Anzahl von Messungen $x_1 \le x_2 \le ... \le x_{2k}$ gilt für jedes $\hat{\mu} \in [x_k,x_{k+1}]$: $\ge 50\%$ der Daten sind $\ge \hat{\mu}$, und $\ge 50\%$ sind $\le \hat{\mu}$. Man definiert in diesem Fall: $$\hat{\mu}_m := \frac{1}{2} (x_{k+1} + x_k)$$ als \glqq den\grqq\ empirischen Median. \\[0.5cm]
73.5 Beispiele
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Der Median der Studiendauer aus 73.1 beträgt 10 Semester. Der Ausreißer mit 40 Semestern hat somit keinen Einfluss auf den Median.
	\item In der Bildverarbeitung ersetzt der Medianfilter einen Grauwert durch seinen Median innerhalb einer $(2k+1) \times (2k+1)$-Maske: \\[0.3cm]
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
		\hline 32 & 17 & 24 \\ \hline
		35 & 251 & 21 \\ \hline
		12 & 24 & 25 \\ \hline
	\end{tabular} \\[0.3cm]
	Ordnen der Grauwerte:
	$$12 \le 17 \le 21 \le 24 \le \underbrace{24}_{\text{Median}} \le 25 \le 32 \le 35 \le 251$$
	Der Grauwert 251 (Ausreißer) wird durch den Median 24 ersetzt. Medianfilter sind robust gegenüber Ausreißern (Impulsrauschen) und erhalten Kanten.
\end{enumerate}
73.6 M-Schätzer \\
Sei $x_1,...,x_n$ Messwerte und $\Psi: [0, \infty) \to \SetR$ eine monoton wachsende Straffunktion (engl.: penaliser). Dann nennt man dasjenige $\mu$, das
$$E(x) = \sum_{i=1}^n \Psi(|x-x_i|)$$
minimiert, den M-Schätzer von $x_1,...,x_n$. \\[0.5cm]
73.4 Beispiele
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Beliebt ist die Familie $\Psi(s) = s^p$ mit $p \ge 0$. Man kann zeigen:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $p=2$ liefert das arithmetische Mittel $\overline{x}$. Es minimiert die quadratische Abstandssumme
		$$E(x) = \sum_{i=1}^n (x_i-x)^2$$
		\item $p=1$ liefert den Median $\hat{\mu}$. Er minimiert die Abstandssumme
		$$E(x) = \sum_{i=1}^n |x_i-x|$$
		\item $p \to 0$ liefert als Minimierer die Modalwerte (Maxima des Histogramms)
		\item $p \to \infty$ ergibt den Midrange $\displaystyle \frac{\max\{x_i\} + \min\{x_i\}}{2}$
	\end{enumerate}
	Kleinere Werte für $p$ liefern robustere M-Schätzer, da Ausreißer $x_i$, für die $\Psi(|x-x_i|)=|x-x_i|^p$ groß wird, weniger stark eingehen.
	\item Eine andere Straffunktion, die robuster als die übliche quadratische Straffunktion $\Psi(s) = s^2$ ist, ist z.B. die Lorentz-Straffunktion
	$$\Psi(s) = \ln \left(1+\frac{1}{2}s^2\right)$$
\end{enumerate}

\newpage
\noindent §74: FEHLERFORTPFLANZUNG \\[0.8cm]
74.1 \\
Es werden 2 physikalische Größen $x$ und $y$ mehrmals gemessen. Man erhält als Mittelwert $\overline{x}, \overline{y}$ und als (empirische) Standardabweichung $s_x, s_y$ (vgl. 70.4). Nun will man hieraus eine neue Größe $z=f(x,y)$ berechnen. Als Schätzer für den Erwartungswert verwendet man
$$\overline{z} := f(\overline{x}, \overline{y})$$
Wie gehen jedoch die Meßfehler $s_x, s_y$ in die Standardabweichung $s_z$ ein? Man kann zeigen: \\[0.5cm]
74.2 Satz: (Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß) \\
Schätzt man aus 2 Fehler behafteten Größen $x,y$ mit Mittelwert $\overline{x}, \overline{y}$ und Standardabweichung $s_x, s_y$ eine neue Größe $z=f(x,y)$, so ist der Schätzer für ihren Erwartungswert gegeben durch $\overline{z} = f(\overline{x}, \overline{y})$. Für die Varianz von $z$ gilt:
$$s_z^2 = \left. \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2\right|_{\overline{z}} s_x^2 + \left. \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\right|_{\overline{z}} s_y^2$$
Beweisidee: Taylorentwicklung. \\[0.5cm]
74.3 Beispiel: \\
Zwei Widerstände $R_1,R_2$ werden mehrmals gemessen:
\begin{eqnarray*}
	\overline{R}_1 & = & 100 \; (\text{Ohm}) \\
	\overline{R}_2 & = & 200 \\
	s_{R_1} & = & 0.8 \quad (\text{Schreibweise: } R_1 = 100 \pm 0.8) \\
	s_{R_2} & = & 1
\end{eqnarray*}
Wie groß sind Gesamtwiderstand und Fehler in Parallelschaltung?
$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_2 + R_1}{R_1R_2} \Rightarrow R = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$$
$$\overline{R} = \frac{\overline{R}_1 \cdot \overline{R}_2}{\overline{R}_1 + \overline{R}_2} = \frac{100 \cdot 200}{100 + 200} \approx 66.67$$
\begin{eqnarray*}
	\frac{\partial R}{\partial R_1} & = & \frac{(R_1+R_2)R_2 - R_1R_2}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2} \\
	\left. \frac{\partial R}{\partial R_1}\right|_{\overline{R}} & \approx & 0.44 \\[0.3cm]
	\frac{\partial R}{\partial R_2} & = & \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2} \\
	\left. \frac{\partial R}{\partial R_2}\right|_{\overline{R}} & \approx & 0.11 \\[0.3cm]
	s_R & = & \sqrt{\left. \left(\frac{\partial R}{\partial R_1}\right)^2\right|_{\overline{R}} s_{R_1}^2 + \left. \left(\frac{\partial R}{\partial R_2}\right)^2\right|_{\overline{R}}s_{R_2}^2} \\
	& = & \sqrt{0.44^2 \cdot 0.8^2 + 0.11^2 \cdot 1^2} \\
	& \approx & 0.37 \\[0.3cm]
	R & = & \overline{R} \pm s_R \approx 66.67 \pm 0.37
\end{eqnarray*}

\end{document}
