\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}

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	\begin{figure}[htpb]
		\centering
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			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\noindent §60: UMKEHRFUNKTIONEN UND DIE TRANSFORMATIONSREGEL \\[0.8cm]
60.1 Motivation: \\
Wir haben bereits viele Konzepte von Funktionen einer Variablen auf Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinert:
\begin{itemize}
	\item Differenzierbarkeit
	\item Mittelwertsatz
	\item Satz von Taylor
	\item Extrema von Funktionen
\end{itemize}
Wir wollen nun den Begriff der Umkehrbarkeit einer Funktion verallgemeinern. In diesem Zusammenhang finden wir auch ein Analogon zur
Substitutionsregel: die Transformationsregel. \\[0.5cm]
60.2 Erinnerung: (Umkehrbarkeit von Funktionen einer Variablen, vgl. 22.6 (f)) \\
Eine $C^1$-Funktion $f: (a,b) \to \SetR$ lässt sich lokal invertieren (nämlich in einer Umgebung, in der $f$ streng monoton ist). \\
Sei $\xi \in (a,b)$. Ist $f'(\xi) \ne 0$, existiert in einer Umgebung von $\eta = f(\xi)$ eine $C^1$-Umkehrfunktion $g$ mit
$\displaystyle g'(\eta) = \frac{1}{f'(\xi)}$. \\
Für Funktionen mehrerer Variablen kann man folgendes Resultat zeigen: \\[0.5cm]
60.3 Satz: (Umkehrsatz) \\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen und $f: D \to \SetR^n$ eine $C^1$-Funktion. Sei $\xi \in D$. Ist die Jacobi-Matrix $Jf(\xi)$ invertierbar, so ist
$f$ lokal invertierbar: Es gibt offene Umgebungen $U_1$ von $\xi$ und $U_2$ von $\eta = f(\xi)$, sodass $f$ die Menge $U_1$ bijektiv auf
$U_2$ abbildet. Die Umkehrfunktion $g = f^{-1}: U_2 \to U_1$ ist eine $C^1$-Funktion und es gilt:
$$Jg(\eta) = (Jf(\xi))^{-1}$$ \\
Beweisidee: \\
Das letzte Resultat folgt aus $g \circ f = id_{U_1}$ (identische Abbildung auf $U_1$) mit Hilfe der Kettenregel 54.4(b):
$$Jg(\eta) \cdot Jf(\xi) = I$$
Die lokale Existenz einer $C^1$-Umkehrfunktion $g$ erfordert ein aufwändiges Resultat (Satz über implizite Funktionen). \\[0.5cm]
60.4 Bemerkungen:
\begin{itemize}
	\item Wegen der Umkehrbarkeit müssen sowohl Definitionsbereich und Wertebereich von $f$ in $\SetR^n$ liegen.
	\item Bijektive $C^1$-Funktionen, deren Umkehrungen ebenfalls $C^1$-Abbildungen sind, heißen auch $C^1$-Diffeomorphismen.
	\item Der Umkehrsatz besagt, dass $C^1$-Funktionen mit regulärer Jacobi-Matrix lokal umkehrbar sind. \\
		Solche Abbildungen kommen in der Praxis oft bei Koordinatentransformation vor.
\end{itemize}
60.5 Beispiel: (Polarkoordinaten) \\
Ein Vektor $\left( \begin{array}{c}x \\ y\end{array} \right) \in \SetR^2$ mit $\left( \begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right) \ne \left( \begin{array}{c}0 \\ 0\end{array} \right)$
kann man durch seinen Abstand $r$ zum Ursprung und seinem Winkel $\varphi$ zur $x$-Achse beschreiben. \\
Die Funktion
$$f: (0, \infty) \times \SetR \to \SetR^2; \left( \begin{array}{c}r \\ \varphi\end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array}{c}r \cdot \cos(\varphi) \\ r \cdot \sin(\varphi)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}x \\ y\end{array} \right)$$
hat die Jacobi-Matrix
$$Jf(r, \varphi) = \left( \begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial r} & \frac{\partial f_1}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial f_2}{\partial r} & \frac{\partial f_2}{\partial \varphi}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}\cos(\varphi) & -r \cdots \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r \cdot \cos(\varphi)\end{array} \right)$$
Da $det(Jf(r,\varphi)) = r \cdot \cos^2(\varphi) + r \cdot \sin^2(\varphi) = r > 0$, ist $f$ auf $(0,\infty) \times \SetR$ lokal invertierbar: \\
Für $r \in (0, \infty)$ und $\varphi \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ lautet die Umkehrfunktion:
$$g: \left( \begin{array}{c}x \\ y\end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array}{c}\sqrt{x^2 + y^2} \\ \arctan(\frac{y}{x})\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}r \\ \varphi\end{array} \right)$$
\begin{eqnarray*}
	Jg(x,y) & = & \left( \begin{array}{cc}\frac{\partial g_1}{\partial x} & \frac{\partial g_1}{\partial y} \\ \frac{\partial g_2}{\partial x} & \frac{\partial g_2}{\partial y}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2}\end{array} \right) \\
	& = & \left( \begin{array}{cc}\frac{r \cdot \cos(\varphi)}{r} & \frac{r \cdot \sin(\varphi)}{r} \\ \frac{-r \cdot \sin(\varphi)}{r^2} & \frac{r \cdot \cos(\varphi)}{r^2}\end{array} \right) \\
	& = & \left( \begin{array}{cc}\cos(\varphi) & \sin(\varphi) \\ -\frac{\sin(\varphi)}{r} & \frac{\cos(\varphi)}{r}\end{array} \right)
\end{eqnarray*}
Damit gilt:
$$Jg \cdot Jf = \left( \begin{array}{cc}\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi) & -r \cdot \cos(\varphi) \sin(\varphi) + r \cdot \cos(\varphi) \sin(\varphi) \\ -\frac{\sin(\varphi) \cos(\varphi)}{r} + \frac{\sin(\varphi) \cos(\varphi)}{r} & \sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array} \right)$$
D.h.: $Jg = (Jf)^{-1}$. \\
Beachte: $f$ bildet $(0,\infty) \times \SetR$ auf $\SetR^2 \backslash \{0\}$ ab, ist aber nicht global invertierbar, da:
$$f(r,\varphi) = f(r, \varphi + 2k \pi) \quad \text{für alle } k \in \SetZ$$ \\[0.5cm]
Die Jacobi-Matrix von Koordinatentransformationen wird u.a. beim Berechnen von Mehrfachintegralen benötigt. Hier verwendet man oft die
Transformationsregel, eine Verallgemeinerung der Substitutionsregel. \\[0.5cm]
60.6 Erinnerung: Substitutionsregel (vgl. 29.6) \\
Zur Berechnung von $\displaystyle \int_c^d f(x) dx$ setze man $x=g(t)$ mit einer streng monotonen $C^1$-Funktion $g$ mit $g(a) = c, g(b) = d$ und formal
$dx = g'(t) dt$. Dann gilt:
$$\int_{x=c}^{x=d} f(x) dx = \int_{t=a}^{t=b} f(g(t)) g'(t) dt$$
Bemerkung: \\
Ist $c < d$ und $g' < 0$, so ist $a > b$. Somit gilt:
$$\int_{x \in [c,d]} f(x) dx = -\int_{t \in [b,a]} f(g(t)) g'(t) dt = \int_{t \in [b,a]} f(g(t)) |g'(t)| dt$$
Wie verallgemeinert man dies auf skalarwertige Funktionen mehrerer Variablen? Man kann zeigen: \\[0.5cm]
60.7 Transformationsregel \\
Sei $D \subset \SetR^n$ und $f: D \to \SetR$. Wir möchten $\int_D f(x) dx$ berechnen. Es existiere eine Menge $E \subset \SetR^n$ und ein
$C^1$-Diffeomorphismus $g: E \to D$. Setze $x=g(t)$. Dann gilt unter geeigneten technischen Voraussetzungen (auf die wir hier nicht eingehen):
$$\int_{x \in D} f(x) dx = \int_{t \in g^{-1}(D)} f(g(t)) |det \; Jg(t)| dt$$
Beachte: $x, t$ sind hier Vektoren im $\SetR^n$ \\[0.5cm]
60.8 Beispiel: Integration in Kugelkoordinaten \\
Kugelkoordinaten sind eine 3D-Verallgemeinerung von Polarkoordinaten.
$$\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}r \cos(\varphi) \cos(\Theta) \\ r \sin(\varphi) \cos(\Theta) \\ r \sin(\Theta)\end{array}\right) = g(r,\varphi, \Theta)$$
\begin{eqnarray*}
	Jg(r, \varphi, \Theta) & = & \left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial g_1}{\partial r} & \frac{\partial g_1}{\partial \varphi} & \frac{\partial g_1}{\partial \Theta} \\ \frac{\partial g_2}{\partial r} & \frac{\partial g_2}{\partial \varphi} & \frac{\partial g_2}{\partial \Theta} \\ \frac{\partial g_3}{\partial r} & \frac{\partial g_3}{\partial \varphi} & \frac{\partial g_3}{\partial \Theta}\end{array}\right) \\
	& = & \left(\begin{array}{ccc}\cos(\varphi) \cos(\Theta) & -r \sin(\varphi) \cos(\Theta) & -r \cos(\varphi) \sin(\Theta) \\ \sin(\varphi) \cos(\Theta) & r \cos(\varphi) \cos(\Theta) & -r \sin(\varphi) \sin(\Theta) \\ \sin(\Theta) & 0 & r \cos(\Theta)\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	det(Jg(r,\varphi, \Theta)) & = & \sin(\Theta) \left|\begin{array}{cc}-r \sin(\varphi) \cos(\Theta) & -r\cos(\varphi) \sin(\Theta) \\ r \cos(\varphi) \cos(\Theta) & -r \sin(\varphi) \sin(\Theta)\end{array}\right| \\
	& & + r \cos(\Theta) \left| \begin{array}{cc}\cos(\varphi) \cos(\Theta) & -r \sin(\varphi) \cos(\Theta) \\ \sin(\varphi)\cos(\Theta) & r \cos(\varphi) \cos(\Theta)\end{array}\right| \\
	& = & \sin(\Theta) (r^2 \sin^2(\varphi) \sin(\Theta) \cos(\Theta) + r^2 \cos^2(\varphi) \sin(\Theta) \cos(\Theta)) \\
	& & + r \cos(\Theta) (r \cos^2(\varphi) \cos^2(\Theta) + r \sin^2(\varphi) \cos^2(\Theta)) \\
	& = & \sin(\Theta) r^2 \sin(\Theta) \cos(\Theta) + r \cos(\Theta) r \cos^2(\Theta) \\
	& = & r^2 \cos(\Theta)
\end{eqnarray*}
Wir wollen hiermit das Vokumen eines Kugeloktanden berechnen:
$$V = \left\{ \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right) \in \SetR^3 \left| x^2+y^2+z^2 \le R^2 \quad \text{und} \quad x,y,z, \ge 0 \right. \right\}$$
\begin{eqnarray*}
	\int_{(x,y,z) \in V} dxdydz & = & \int_{(r,\varphi,\Theta) \in g^{-1}(V)} |det \; g(r, \varphi, \Theta)| dr d\varphi d\Theta \\
	& = & \int_{\Theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^R r^2 \cos(\Theta) dr d\varphi d\Theta \\
	& = & ... = \frac{1}{6} \pi R^3
\end{eqnarray*}

\end{document}