\documentclass[12pt]{article}

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\title{}
\author{}
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\begin{document}

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\newcommand{\bild}[4]{
	\begin{figure}[htpb]
		\centering
			\includegraphics[width=#1cm]{../#2}\\[0.2cm]
			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\noindent 49.5 Normalformel der Quadriken im $\SetR^3$
\subsubsection*{(i)} $rang \, A = 3$ (alle Eigenwerte $\ne 0$)
\begin{enumerate}[(a)]
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0 \quad \text{Ellipsoid} $$
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} + 1 = 0 \quad \text{leere Menge} $$
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0 \quad \text{einschaliges Hyperboloid} $$
		\begin{center}Ellipse in 1 Ebene $(x-y)$. Hyperbel in 2 Ebenen $(x-z, y-z)$\end{center}
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} + 1 = 0 \quad \text{zweischaliges Hyperboloid} $$
		\begin{center}Ellipse in 1 Ebene $(x-y)$. Hyperbel in 2 Ebenen $(x-z, y-z)$\end{center}
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 0 \quad \text{Punkt } (0,0,0) $$
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \quad \text{elliptischer Kegel} $$
\end{enumerate}
\subsubsection*{(ii)} $rang \, A = 2$ (ein Eigenwert $=0$)
\begin{enumerate}[(a)]
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 2pz = 0 \quad \text{elliptisches Paraboloid} $$
		\begin{center}in 1 Ebene $(|| x-y)$ Elipse. in 2 Ebenen Parabeln\end{center}
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} -2pz = 0 \quad \text{hyperbolisches Paraboloid} $$
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + 1 = 0 \quad \text{leere Menge} $$
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} -1 = 0 \quad \text{elliptischer Zylinder} $$
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + 1 = 0 \quad \text{hyperbolischer Zylinder} $$
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0 \quad \text{Gerade (z-Ache)} $$
	\item
		$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0 \quad \text{Ebenenpaar mit Schnittgerade (z-Achse)} $$
\end{enumerate}
\subsubsection*{(iii)} $rang \, A = 1$
\begin{enumerate}[(a)]
	\item
		$$ x^2 -2py = 0 \quad \text{parabolischer Zylinder} $$
	\item
		$$ x^2-a^2 = 0 \quad \text{paralleles Ebenenpaar} $$
	\item
		$$ x^2+a^2 = 0 \quad \text{leere Menge} $$
	\item
		$$ x^2 = 0 \quad \text{Ebene (y-z-Ebene)} $$
\end{enumerate}
\subsubsection*{(iv)} $rang \, A = 0$
$$b_1x + b_2y + b_3z + c = 0 \quad \text{allg. Ebenengleichung}$$ \\[0.5cm]
49.6 Satz: \\
Auf dem einschaligen Hyperboloid und auf dem hyperbolischen paraboloid gibt es jeweils zwei Scharen von Geraden. \\[0.3cm]
Beweis für das einschalige Hyperboloid:
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} -1 = 0 $$
Die x-y-Ebene schneidet das Hyperboloid in der Ellipse
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
Fall 1:\\
Betrachte zunächst $x = \pm a, y=0, z=0$ und die zugehörigen Ebenen, die die Fläche berühren: \\
$x = \pm a$ Schnitt zwischen Ebene und Hyperboloid besteht aus den Punkten, die beide Gleichungen erfüllen. Setzen daher $x = \pm a$ in die
Hyperboloid-Gleichung ein.
$$ 0 = 1 + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} - 1 = \left( \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \left( \frac{y}{b} - \frac{z}{c} \right) $$
also:
$$ \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0 \quad \text{oder} \quad \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$$
Jede dieser Gleichungen beschreibt zusammen mit $x=\pm a$ eine Gerade durch $(\pm a; 0; 0)$. \\
Fall 2: \\
Betrachte Punkt $(x_0; y_0; 0)$ mit
$$ \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1, \; y_0 \ne 0 $$
und die zugehörige Berührungsebene
$$ (x-x_0) \frac{x_0}{a^2} + (y-y_0)\frac{y_0}{b^2} = 0 \quad \quad (*)$$
Umformen dieser Ebenengleichung (betrachte $y_0 \ne 0$) ergibt
$$ y = y_0 - \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_0}{y_0}(x-x_0) $$
Einsetzen in Hyperboloidgleichung:
\begin{eqnarray*}
0 & = & \frac{x^2}{a^2} + \left( \frac{y_0}{b} - \frac{b}{a^2} \cdot \frac{x_0}{y_0}(x-x_0) \right)^2 - \frac{z^2}{c^2} - 1 \\
& = & \frac{x^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 2 \frac{x_0}{a^2} (x-x_0) + \frac{b^2}{a^4} \cdot \frac{x_0^2}{y_0^2} (x-x_0)^2 - \frac{z^2}{c^2} - 1 \\
0 & = & \frac{x^2}{a^2} - \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{2}{a^2}x_0 (x-x_0) + \frac{b^2}{a^4} \cdot \frac{x_0^2}{y_0^2}(x-x_0)^2 - \frac{z^2}{c^2} \\
& = & \frac{x-x_0}{a^2}(x+x_0 - 2x_0) + \frac{b^2}{a^4} \cdot \frac{x_0^2}{y_0^2}(x-x_0)^2 - \frac{z^2}{c^2} \\
& = & \frac{(x-x_0)^2}{a^2} \left( \underbrace{1 + \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_0^2}{y_0^2}}_{=: e^2} \right) - \frac{z^2}{c^2} \\
& = & \left( \frac{e}{a}(x-x_0) + \frac{z}{c} \right) \left( \frac{e}{a}(x-x_0) - \frac{z}{c} \right)
\end{eqnarray*}
Jeder Faktor ergibt eine Ebenengleichung, die zusammen mit $(*)$ eine Gerade beschreibt. \QED

\end{document}
