\documentclass[12pt]{article}

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\thispagestyle{empty}

\title{}
\author{}
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\begin{document}

\newcommand{\AND}{\ensuremath{\wedge}}
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	\begin{figure}[htpb]
		\centering
			\includegraphics[width=#1cm]{../#2}\\[0.2cm]
			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}


\noindent § 49: QUADRIKEN \\[0.8cm]
49.1 Motivation:\\
Quadriken ($\rightarrow$ Def. 48.2) stellen eine wichtige Klasse geometrischer Objekte dar, mit Anwendungen in Computergrafik, Physik u.a. \\
Ziel:
\begin{itemize}
	\item gegebene Quadrik auf einfache Form transformieren, sodass sich ihre geometrische Gestalt unmittelbar ablesen lässt
	\item geometrische Interpretation von Eigenwerten symmetrischer Matrizen
\end{itemize}
49.2 Grundlegende Verfahrensweise \\
Gegeben: Quadrik $q(x) = x^TAx + b^Tx +c = 0$, $A \in \SetR^{n \times n}$ symmetrisch, $x,b \in \SetR^n, \: c \in \SetR$ \\
Schritt 1: Elimination der gemischten quadratischen Terme \\
Hierzu wird das Koordinatensystem so gedreht, dasss $A$ in eine Diagonalmatrix übergeht. \\
Berechne dazu die Eigenwerte $\lambda_i$ von $A$ und eine ONB $\{v_1, ..., v_n\}$ aus Eigenvektoren mit $det(v_1 | ... | v_n)=1$.
(Falls $det(...)=-1$, ersetzt man $v_1$ durch $-v_1$) \\
Mit $Q = (v_1 | ... | v_n)$ gilt dann
$$\Lambda = \left( \begin{array}{ccc}\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n\end{array}\right) = Q^TAQ$$
und aus $x^TAx + b^Tx + c = 0$ folgt dann:
$$\underbrace{x^TQ}_{(Q^Tx)^T}\Lambda Q^Tx + \underbrace{b^TQ^T}_{(Q^Tb)^T}Qx + c = 0$$
Mit $y := Q^Tx$, $\tilde{b} := Q^Tb$ ergibt sich daher
$$y^T\Lambda y + \tilde{b}^T y + c = 0$$\\[0.5cm]
49.3 Beispiel: \\
Die Quadrik
$$q(x) = 5x_1^2 - 4x_1x_2 + 8x_2^2 + \frac{20}{\sqrt{5}}x_1 - \frac{80}{\sqrt{5}}x_2 +4 = 0$$
soll auf Normalform gebracht werden.
$$q(x) = x^TAx +b^Tx+c=0$$
$$A=\left( \begin{array}{rr}5 & -2 \\ -2 & 8\end{array}\right), \quad b= \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}20 \\ -80\end{array}\right), \quad c=4$$
\begin{enumerate}
	\item Schritt: (Hauptachsentransformation von $A$): \\
		Eigenwerte $\lambda_1 = 9; \; \lambda_2 = 4$; Eigenvektoren $v_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \begin{array}{r}-1 \\ 2\end{array}\right)$, $v_2=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \begin{array}{r}-2 \\ -1\end{array}\right)$
		\begin{eqnarray*}
			Q & = & \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \begin{array}{rr}-1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\right) \\
			det(Q) & = & 1
		\end{eqnarray*}
		Mit $\Lambda = Q^TAQ = \left( \begin{array}{cc}9 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right)$ und $\tilde{b}=Q^Tb = \left( \begin{array}{r}-36 \\ -8\end{array}\right)$ ergibt sich für
		$y = Q^Tx$:
		$$9y_1^2 + 4y_2^2-36y_1-8y_2+4=0$$
	\item Schritt: (Elimination linearer Terme soweit möglich) \\
		Durch Translation des Koordinatensystems kann erreicht werden, dass ein $\lambda_k y_k^2$ und $\tilde{b}_ky_k$ nicht
		zugleich vorkommen (für jedes $k$). \\
		Es sei dazu o.B.d.A. $\lambda_i \ne 0$ für $i=1,...,r$ sowie $\lambda_{r+1} = ... = \lambda_n=0$. Dann wird für $i=1,...,r$
		der lineare Term $\tilde{b}_iy_i$ durch die quadratische Ergänzung eliminiert:
		\begin{eqnarray*}
			z_i & := & y_i + \frac{\tilde{b}_i}{2\lambda_i} \quad (i=1,...,r) \\
			z_i & := & y_i \quad (i=r+1,...,n)
		\end{eqnarray*}
		Dann erhält man
		$$\lambda_1z_1^2 + ... + \lambda_rz_r^2 + \tilde{b}_{r+1}z_{r+1} + ... + \tilde{b}_nz_n + \tilde{c} = 0 \quad \text{ mit } \tilde{c}=c-\sum_{i=1}^r \frac{\tilde{b}_i^2}{4\lambda_i} \text{ und } r=rang(A)$$
		\begin{eqnarray*}
			(9y_1^2 -36y_1 +36)+(4y_2^2-8y_2+4)+(4-36-4) & = & 0 \\
			9(y_1^2 - 4y_1 +4) + 4(y_2^2-2y_2+1) +1 -36 & = & 0 \\
			\text{also mit } z_1 := y_1-2 \text{ und } z_2 := y_2-1 \text{:} & & \\
			9z_1^2+4z_2^2 & = & 36 \\
			\Rightarrow \frac{z_1^2}{4} + \frac{z_2^2}{9} & = & 1 \quad \text{Ellipsen mit Halbachsen 2 und 3}
		\end{eqnarray*}
	\item Schritt: (Elimination der Konstanten falls möglich) \\
		Ist einer der Koeffizienten $\tilde{b}_{r+1},..., \tilde{b}_n$ ungleich $0$ (o.B.d.A. sei dies $\tilde{b}_n$), so kann $\tilde{c}$
		eliminiert werden durch $\displaystyle z_n \mapsto z_n - \frac{c}{\tilde{b}_n}$ (eine zusätzliche Translation des Koordinatensystems)
\end{enumerate}
RESULTAT: Normalformen der Quadrik \\
Darstellung in einem Koordinatensystem, in dem möglichst viele Koeffizienten verschwinden.\\
Für $r := rang(A)=n$:
$$\lambda_1z_1^2 + ... + \lambda_nz_n^2+d = 0$$
Für $r<n$:
$$\text{entweder } \lambda_1z_1^2 + ... + \lambda_rz_r^2 + e_{r+1}z_{r+1} + ... + e_nz_n = 0$$
$$\text{oder } \lambda_1z_1^2 + ... + \lambda_rz_r^2 + d = 0$$ \\[0.5cm]
49.4 Normalformen der Quadriken im $\SetR^2$ (Kegelschnitte)
\subsubsection*{(i)} $rang(A)=2$ (alle Eigenwerte $\ne 0$)
\begin{enumerate}[(a)]
	\item $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}-1=0 \quad \text{Ellipse}$$
	\item $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}-1=0 \quad \text{Hyperbel}$$
	\item $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}+1=0 \quad \text{leere Menge}$$
	\item $$x^2+a^2y^2=0, \; a \ne 0 \quad \text{Punkt}(0,0)$$
	\item $$x^2-a^xy^2=0, \; a \ne 0 \quad \text{Geradenpaar } y=\pm\frac{1}{a}x$$
\end{enumerate}
\subsubsection*{(ii)} $rang(A)=1$ (ein Eigenwert $=0$)
\begin{enumerate}[(a)]
	\item $$x^2-2py=0 \quad \text{Parabel}$$
	\item $$x^2-a^2=0 \quad \text{parallele Geraden } x=\pm a$$
	\item $$x^2+a^2=0 \quad \text{leere Menge}$$
	\item $$x^2=0 \quad \text{\glqq Doppelgerade\grqq} x=0$$
\end{enumerate}
\subsubsection*{(iii)} $rang(A)=0$ (alle Eigenwerte $=0$)
$$b_1x+b_2y+c=0 \quad \text{Gerade}$$

\end{document}
