\documentclass[12pt]{article}

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\title{}
\author{}
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\begin{document}

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	\begin{figure}[htpb]
		\centering
			\includegraphics[width=#1cm]{../#2}\\[0.2cm]
			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}


\noindent § 48: QUADRATISCHE FORMEN UND POSITIV DEFINITE MATRIZEN \\[0.8cm]
48.1 Motivation:
\begin{itemize}
	\item Charakterisierung einer wichtigen Klasse symmetrischer Matrizen (Anwendungen: Physik, Computergrafik)
	\item Verhalten quadratischer Funktionen in mehreren Variablen
\end{itemize}
48.2 Def.:\\
Es sei $x=(x_1, ..., x_n)^T \in \SetR^n$ und $A \in \underbrace{Mat_{n \times n}(\SetR)}_{= \SetR^{n \times n}}$ symmetrisch. Dann heißt
$$ x^TAx = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j$$
quadratische Form. Es seien ferner $b \in \SetR^n$ und $c \in \SetR$. Dann heißt
$$ q(x) = x^TAx + b^Tx + c $$
quadratisches Polynom in $x_1, ..., x_n$. \\
Die Menge aller Punkte, die die quadratische Gleichung
$$ q(x) = x^TAx + b^Tx + c = 0 $$
erfüllen, heißt Quadrik. \\[0.5cm]
48.3 Beispiele:
\subsubsection*{(a)}
\begin{eqnarray*}
	7x_1^2 + 6x_2^2 + 5x_3^2 - 4x_1x_2 + 2x_2x_3 & = & 7x_1^2 + 6x_2^2 + 5x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_2x_1 + x_2x_3 + x_3x_2 \\
	& = & (x_1 \, x_2 \, x_3) \left(\begin{array}{rrr} 7 & -2 & 0 \\ -2 & 6 & 1 \\ 0 & 1 & 5\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
ist eine quadratische Form.
\subsubsection*{(b)}
$$ q(x) = 5x_1^2 - 3x_2^2 + 4x_1x_2 - 7x_2 +3 $$
ist ein quadratisches Polynom.
\subsubsection*{(c)}
Die Ellipsengleichung
$$ \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2} - 1 = 0 $$
beschreibt eine Quadrik mit $n=2$. \\
Quadriken mit $n=2$ können generell als Kegelschnitte (Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln, ...) interpretiert werden. Für $n=3$ entstehen
Ellipsoiden, Hyperboloide, Paraboloide, ... \\[0.5cm]
48.4 Def.:\\
Es sei $A \in \SetR^{n \times n}$ symmetrisch und es seien $\lambda_1, ..., \lambda_n$ die Eigenwerte von $A$. Dann heißt $A$
\begin{itemize}
	\item positiv definit, falls $\lambda_i > 0 \; \forall i$
	\item positiv semidefinit, falls $\lambda_i \ge 0 \; \forall i$
	\item negativ definit, falls $\lambda_i < 0 \; \forall i$
	\item negativ semidefinit, falls $\lambda_i \le 0 \; \forall i$
	\item indefinit, falls $\exists i,j$ mit $\lambda_i \lambda_j < 0$
\end{itemize}
Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen positiver Definitheit, quadratischen Formen und Determinanten von Untermatrizen. \\[0.5cm]
48.5 Satz: (Charakterisierung positiv definiter Matrizen) \\
Es sei $A = (a_{ij}) \in \SetR^{n \times n}$ symmetrisch. Dann ist $A$ positiv definit genau dann, wenn
$$x^TAx > 0 \; \forall x \in \SetR^n \text{ mit } x \ne 0$$ \\[0.3cm]
Beweis: \\
Es sei $\{v_1, ..., v_n\}$ Orthonormalbasis von Eigenvektoren von $A$ und die zugehörigen Eigenwerte $\lambda_1, ..., \lambda_n$. Dann gilt
für $x \in \SetR^n$ $\displaystyle x = \sum_{i=1}^n x_i v_i $ \\
\begin{eqnarray*}
	x^TAx & = & \left(\sum_{i=1}^n x_i v_i \right)^T A \left(\sum_{j=1}^n x_j v_j\right) \\
	& \stackrel{47.4}{=} & \left(\sum_{i=1}^n x_i v_i\right)^T \left(\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k v_k^T\right) \left(\sum_{j=1}^n x_j v_j\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	x^TAx & = & \sum_{i,j,k=1}^n \lambda_k x_i v_i (\underbrace{v_i^T v_k}_{0 \text{ für } i\ne k}) (\underbrace{v_k^T v_j}_{0 \text{ für } k \ne j}) \\
	& = & \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k^2 > 0
\end{eqnarray*}
Sei $A$ nicht positiv definit. $\Rightarrow$ Es existiert ein Eigenvektor $v$ von $A$ mit zugehörigem Eigenwert $\lambda \le 0$; damit
$$v^TAv = v^T \lambda v = \underbrace{\lambda}_{\le 0} (\underbrace{v^Tv}_{>0}) \le 0 $$
im Widerspruch zu $x^TAx>0 \; \forall x\ne0$. \QED \\[0.5cm]
48.6 Satz: (Hauptminorenkriterium) \\
Eine symmetrische Matrix $A = (a_{ij}) \in \SetR^{n \times n}$ ist genau dann positiv definit, wenn ihre Hauptminoren
$$\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & \vdots & a_{1k} \\ \hdots & & \hdots \\ a_{k1} & \vdots & a_{kk}\end{array}\right|$$
für $k=1, ..., n$ positiv sind. \\[0.5cm]
48.7 Beispiel
$$ A = \left( \begin{array}{rrr} 2 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 4 \\ -3 & 4 & 9\end{array} \right) $$
Ist $A$ positiv definit? \\
Hauptminoren:
$$ |2| = 2 > 0$$
$$ \left|\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right| = 4 - 1 = 3 > 0$$
\begin{eqnarray*}
\left|\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 4 \\ -3 & 4 & 9\end{array}\right| & = & -3 \left|\begin{array}{rr} -1 & -3 \\ 2 & 4\end{array}\right| - 4 \left|\begin{array}{rr} 2 & -3 \\ -1 & 4\end{array}\right| + 9 \left|\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right| \\
& = & -3(-4+6)-4(8-3)+9 \cdot 3\\
& = & -6 -20+27 \\
& = & 1 > 0
\end{eqnarray*}
$\Rightarrow A$ positiv definit. \\
Ähnlich wie zu jeder nichtnegativen Zahl eine Wurzel existiert, gibt es auch die \glqq Wurzel\grqq\ aus einer positiv semidefiniten Matrix. \\[0.5cm]
48.8 Satz: (Wurzel einer positiv semidefiniten Matrix) \\
Es sei $A \in \SetR^{n \times n}$ symmetrisch und positiv semidefinit. Dann existiert eine positiv semidefinite Matrix $B \in \SetR^{n \times n}$
mit $B^2 = A$. \\[0.3cm]
Beweis:\\
Es seien $\lambda_1, ..., \lambda_n$ die Eigenwerte von $A$ und $\{v_1, ..., v_n\}$ die Orthonormalbasis der zugehörigen Eigenvektoren.
Dann gilt mit
$$ Q:= (v_1 | v_2 | ... | v_n)$$
und
$$ \Lambda := \left(\begin{array}{ccc} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\0 & & \lambda_n\end{array}\right)$$
dass $A = Q\Lambda Q^T$. Wir setzen
$$ \Lambda^{\frac{1}{2}} := \left(\begin{array}{ccc} \sqrt{\lambda_1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \sqrt{\lambda_n}\end{array}\right)$$
und
$$ B:= Q \Lambda^{\frac{1}{2}} Q^T $$
Dann ist
$$ B^2 = Q \Lambda^{\frac{1}{2}} \underbrace{Q^T Q}_{I} \Lambda^{\frac{1}{2}} Q^T = Q \Lambda^{\frac{1}{2}} \Lambda^{\frac{1}{2}} Q^T = Q \Lambda Q^T = A$$ \QED
Positiv und negativ (semi-)definite Matrizen spielen eine wichtige rolle beim Nachweis von Maxima/Minima von Funktionen mehrerer Variablen. \\
Gibt es obere und untere Schranken für quadratische Formen? \\[0.5cm]
48.9 Def.: (Rayleigh-Quotienten) \\
Es sei $A \in \SetR^{n \times n}$ symmetrisch und $x \in \SetR^n, \; x \ne 0$. Dann nennt man
$$ R_A(x) := R(x) := \frac{x^TAx}{x^Tx} $$
den Rayleigh-Quotienten. \\
Der Rayleigh-Quotient lässt sich durch die Eigenwerte von $A$ abschätzen. \\[0.5cm]
48.10 Satz (Rayleigh-Prinzip) \\
Es sei $A \in \SetR^{n \times n}$ symmetrisch mit Eigenwerten $\lambda_1, ..., \lambda_n$ und zugehörigen orthonormierten Eigenvektoren
$v_1, ..., v_n$. Dann gilt: \\
\subsubsection*{(a)}
$$\lambda_n \le R(x) \le \lambda_1$$
\subsubsection*{(b)}
Diese Grenzen werden angenommen:
$$\lambda_1 = \underset{x \in \SetR^n, x \ne 0}{max} R(x), \; \lambda_n = \underset{x \in \SetR^n, x \ne 0}{min} R(x)$$ \\[0.3cm]
Beweis:\\
\subsubsection*{(a)}
Aus $\displaystyle x = \sum_{i=1}^n x_i v_i$ folgt $\displaystyle x^T x = \sum_{i=1}^n x_i^2$ sowie $\displaystyle Ax = \sum_{i=1}^n x_i Av_i = \sum_{i=1}^n x_i \lambda_i v_i$.
Dann gilt:
\begin{eqnarray*}
	x^TAx & = & \left(\sum_{i=1}^n x_i v_i^T\right) \left(\sum_{j=1}^n x_j \lambda_j v_j\right) \\
	& = & \sum_{i,j=1}^n \lambda_j x_i x_j v_i^T v_j \\
	& = & \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2 \\ \\
	R(x) & = & \frac{\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2}{\sum_{i=1}^n x_i^2} \; \left\{ \begin{array}{c} \le \lambda_1 \\ \ge \lambda_n\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
\subsubsection*{(b)}
Setzt man $x=v_k$, dann ist
$$R(v_k) = \frac{v_k^TAv_k}{v_k^Tv_k} = \frac{\lambda_k v_k^T v_k}{v_k^T v_k} = \lambda_k$$
Speziell: $R(v_n) = \lambda_n, \; R(v_1) = \lambda_1$ \QED

\end{document}
