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\begin{document}

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	\begin{figure}[htpb]
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			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\noindent §71: HYPOTHESENTESTS \\[0.8cm]
71.1 Motivation \\
Bei Hypotehsentests möchte man eine gewisse Annahme über eine Zufallsvariable darauf überprüfen, ob sie korrekt ist. Beispiele:
\begin{itemize}
	\item Ist eine Münze fair $\displaystyle \left(p=\frac{1}{2}\right)$?
	\item Sind die Rechner von Hersteller A zuverlässiger als von Hersteller B?
\end{itemize}
Ein statistisches Experiment soll uns dabei eine Entscheidung mit einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit ermöglichen. \\
Gegenüber den Verfahren aus §70 kann man in den Rechnungen die Hypothese mitverwenden, hat also mehr in der Hand. \\[0.5cm]
71.2 Parametertest am Beispiel eines Münzexperiments \\
Wir beobachten das Ereignis A = \glqq Münze zeigt Kopf\grqq\ und wollen die Hypothese $\displaystyle p_0 = p(A) = \frac{1}{2}$ überprüfen. Hierzu führen wir 200 Münzwürfe durch:
$$X_i := \left\{ \begin{array}{cl}1 & \text{Münze zeigt Kopf beim } i \text{-ten Wurf} \\ 0 & \text{Münze zeigt Zahl beim } i \text{-ten Wurf}\end{array}\right.$$
Wie weit darf $\displaystyle S_{200} := \sum_{i=1}^{200} X_i$ sich vom Erwartungswert 100 unterscheiden, damit wir mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha = 0.05$ (Signifikanzniveau von $1-\alpha = 0.95$) die Hypothese $\displaystyle p_0 = \frac{1}{2}$ nicht ablehnen? \\
Wir legen eine Binomialverteilung mit $n=200$, $p=0.5$ zu Grunde, die wir durch eine Normalverteilung mit $\mu = n \cdot p = 100$, $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{50} \approx 7.07$ approximieren. \\
Wegen $\Phi(1.96) \approx 0.975$ ist $c=1.96$ für $\alpha = 0.05$. \\
Tritt bei 200 Würfen eine Kopfzahl $S_n$ außerhalb des Intervalls
$$[\mu - c\sigma, \mu + c\sigma] \approx [86.1, 113.6]$$
auf, lehnt man die Hypothese $\displaystyle p_0 = \frac{1}{2}$ auf einem Signifikanzniveau von 0.95 ab. Andernfalls lehnt man sie nicht ab. \\[0.5cm]
71.3 Bemerkungen
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Eine Hypothese an einen Parameter (etwa $p_0=\frac{1}{2}$) nennt man auch Nullhypothese $H_0$, die Gegenannahme (etwa $p \ne \frac{1}{2}$) ist die Gegenhypothese $H_1$.
	\item Bei Hypothesentests können 2 Arten von Fehlern auftreten:
		\begin{itemize}
			\item {\bfseries Fehler 1. Art:} Hypothese wird abgelehnt, obwohl sie richtig ist (wird durch Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ beschrieben).
			\item {\bfseries Fehler 2. Art:} Hypothese wird nicht abgelehnt, obwohl sie falsch ist. Dieser Fehler kann insbesondere für kleines $\alpha$ sehr groß werden.
		\end{itemize}
\end{enumerate}
71.4 Der $\chi^2$-Test (Chi-Quadrat-Test) \\
Der $\chi^2$-Test ist einer der wichtigsten Tests. Er wird bei folgenden Problemen angewandt: \\
Ein Versuch habe $m$ mögliche Ausgänge. Wir testen die Hypothese $H_0$, dass die Resultate mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten $p_1,...,p_m$ auftreten. \\
Trifft $H_0$ zu, erwarten wir bei $n$ Versuchen als Häufigkeit für die einzelnen Ausgänge: $n \cdot p_1,..., n \cdot p_m$. \\
In Wirklichkeit werden die Häufigkeiten $X_1,...,X_m$ beobachtet. Als Maß für die Abweichung zwischen $X_i$ und $n \cdot p_i$, $i=1,...,m$ verwendet man
$$\chi^2 := \sum_{i=1}^m \frac{(X_i - n \cdot p_i)^2}{n \cdot p_i}$$
Ist $\chi^2$ \glqq groß\grqq , wird man $H_0$ ablehnen. \\
Wie sieht der Erwartungswert von $\chi^2$ aus? \\
Ist jedes $X_i$ $b_{n,p_i}$-verteilt, gilt
$$V(X_i) = E((X_i - n \cdot p_i)^2)) = n \cdot p_i \cdot (1-p_i)$$
und aus der Linearität des Erwartungswerts folgt:
\begin{eqnarray*}
	E(\chi^2) & = & \sum_{i=1}^m \frac{1}{np_i} E((X_i - np_i)^2) \\
	& = & \sum_{i=1}^m \frac{1}{np_i} np_i (1-p_i) \\
	& = & m - 1
\end{eqnarray*}
$f := m-1$ bezeichnet die Freiheitsgrade der $\chi^2$-Verteilung, d.h. $m-1$ der $p_i, i=1,...,m$ sind frei wählbar. Es gilt also
$$\mu = E(\chi^2) = f$$
Für einen gegebenen Freiheitsgrad $f$ und eine Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ ist die $\chi_f^2$-Verteilung tabelliert. \\
Man nimmt $H_0$ an, falls der berechnete $\chi^2$-Wert $\le \delta$ ist. Man lehnt $H_0$ ab, falls der berechnete $\chi^2$-Wert $> \delta$ ist. \\[0.5cm]
71.5 Beispiel \\
Wir wollen mit 120 Würfen nachprüfen, ob ein Würfel \glqq fair\grqq\ ist, d.h. alle Augenzahlen sind gleichwahrscheinlich.
$$p_1 = ... = p_6 = \frac{1}{6}$$
Als Ergebnis erhalten wir:
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
	Augenzahl $i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
	bbeobachtete Häufigkeit $X_i$ & 15 & 21 & 25 & 19 & 14 & 26 \\ \hline
	erwartete Häufigkeit $np_i$ & 20 & 20 & 20 & 20 & 20 & 20
\end{tabular}
\end{center}
Wir erhalten
\begin{eqnarray*}
	\chi^2 & = & \frac{(15-20)^2}{20} + \frac{(21-20)^2}{20} + ... + \frac{(26-20)^2}{20} \\
	& \approx & 6.2
\end{eqnarray*}
Geben wir eine Irrtunswahrscheinlichkeit von $\alpha = 0.1$ vor, so findet man in einer Tabelle für $f=6-1=5$ Freihheitsgrade.
$$p(\chi^2 \le \underbrace{9.24}_{\delta}) = \underbrace{0.9}_{1-\alpha}$$
Wegen $\chi^2 = 6.2 \le 9.24 = \delta$ akzeptieren wir die Hypothese $H_0$, dass alle Augenzahlen gleichwahrscheinlich sind. \\[0.5cm]
71.6 Bemerkung: \\
Möchte man ein $N(\mu,\sigma^2)$-Verteilung mit dem $\chi^2$-Test für ein gegebenes $\mu, \sigma^2$ verifizieren, teilt man in $m$ (z.B. gleich wahrscheinliche) Klassen ein: \\
Beispiel: $m=3$ Klassen. \\
Dann überprüft man, ob die experimentell ermittelten Häufigkeiten in jeder Klasse das $\chi^2$-Kriterium zu einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ und $f=m-1$ Freiheitsgrade erfüllen.

\end{document}
