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\begin{document}

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	\begin{figure}[htpb]
		\centering
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			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\noindent §57: EXTREMA VON FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN \\[0.8cm]
57.1 Motivation: \\
Bei skalarwertigen Funktionen einer Variablen kennen wir notwendige und hinreichende Bedingungen für das Vorliegen von Extrema (vgl. §25):
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Sei $f: (a,b) \to \SetR$ eine $C^1$-Funktion, $\xi \in (a,b)$. Besitzt $f$ in $\xi$ ein lokales Extremum, so gilt $f'(\xi) = 0$.
	\item Sei $f: (a,b) \to \SetR$ eine $C^2$-Funktion, $\xi \in (a,b)$ und $f'(\xi) = 0$. \\
		Ist $\xi$ ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum), so gilt $f''(\xi) \ge 0$ (bzw. $f''(\xi) \le 0$). \\
		Ist umgekehrt $f''(\xi) > 0$ (bzw. $f''(\xi) < 0$), so ist $\xi$ ein striktes lokales Minimum (striktes lokales Maximum).
\end{enumerate}
Können wir ähnliche Aussagen auch im Fall skalarwertiger Funktionen mehrerer Variablen machen? \\[0.5cm]
57.2 Def.: \\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen und $f: D \to \SetR$. Ein Punkt $\xi \in D$ heißt lokales Minimum (bzw. lokales Maximum), falls eine Umgebung
$U \subset D$ existiert mit $f(\xi) \le f(y)$ (bzw. $f(\xi \ge f(y)$) für alle $y \in U$. Tritt Gleichheit nur für $y = \xi$ auf, so heißt $\xi$ striktes
lokales Minimum (bzw. striktes lokales Maximum). \\
Damit lautet das Analogon zu 57.1 (a): \\[0.5cm]
57.3 Satz: (Notwendige Bedingung für lokale Extrema) \\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen und $f: D \in \SetR$ eine $C^1$-Funktion. Hat $f$ in $\xi$ ein lokales Extremum (lokales Maximum oder lokales
Minimum), so gilt $\nabla f(\xi) = 0$. \\
Beweis: \\
Für beliebiges $v \in \SetR^n$ mit $v \ne 0$ ist $\varphi (t) := f(\xi + tv)$ in einer Umgebung von $t=0$ erklärt und dort stetig differenzierbar.
Ferner habe $\varphi$ in $t=0$ ein lokales Extremum. Mit 57.1 (a) und der Kettenregel 54.5 gilt:
$$0 = \varphi'(0) = \nabla^T f(\xi) \cdot v$$
Da dies für beliebiges $v \ne 0$ gilt, folgt $\nabla f(\xi) = 0$ \QED \\[0.5cm]
57.4 Bemerkungen:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Ein Punkt $\xi \in D$ mit $\nabla f(\xi) = 0$ heißt auch stationärer Punkt von $f$.
	\item Bei der Suche nach stationären Punkten muss man häufig ein nichtlineares System von $n$ Gleichungen mit $n$ Unbekannten
		lösen. Beispiel:
		$$f(x,y) = e^{xy} - x^2 \sin(y)$$
		$$0 \stackrel{!}{=} \nabla f = \left( \begin{array}{c} y e^{xy} + 2x \sin(y) \\ x e^{xy} + x^2 \cos(y)\end{array} \right)$$
		2 nichtlineare Gleichungen mit 2 Unbekannten. \\
		Ähnlich wie bei Funktionen einer Variablen kann man hierbei Fixpunktiterationen oder Newton-artige Verfahren einsetzen.
	\item Nicht jeder stationäre Punkt ist ein Extremum! \\
		Beispiel: \\
		Die stationären Punkte von $f(x,y) = x^2-y^2$ erfüllen
		$$0 = \nabla f(x,y) = \left( \begin{array}{c} 2x \\ -2y\end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}x_0 \\ y_0\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}0 \\ 0\end{array} \right)$$
		ist einziger stationärer Punkt.
\end{enumerate}
Zur Klassifikation stationärer Punkte betrachten wir das Analogon zu 57.1 (b): \\[0.5cm]
57.5 Satz: (Klassifikation stationärer Punkte) \\
Sei $D \subset \SetR^n$ offen, $f: D \to \SetR$ eine $C^2$-Funktion und $\xi \in D$ sowie $\nabla f(\xi) = 0$. Dann gilt:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Notwendige Bedingung: \\
		Ist $\xi$ ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum), so ist die Hesse-Matrix $Hf(\xi)$ positiv semidefinit (bzw. negativ semidefinit).
	\item Hinreichende Bedingung:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Ist $Hf(\xi)$ positiv definit (bzw. negativ definit), so ist $\xi$ ein striktes lokales Minimum (bzw. striktes lokales
				Maximum) von $f$.
			\item Ist $Hf(\xi)$ indefinit, so ist $\xi$ ein Sattelpunkt, d.h. ein stationärer Punkt, sodass in jeder Umgebung $U \subset D$
				Punkte $y,z \in U$ existieren mit $f(y) < f(\xi) < f(z)$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
Beweis:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Sei o.B.d.A. $\xi$ ein lokales Minimum. Für $v \ne 0$ und hinreichend kleines $\varepsilon > 0$ gilt nach Taylor (55.6):
		$$0 \stackrel{\text{da lok. Min.}}{\le} f(\xi + \varepsilon v) - f(\xi) = \underbrace{\nabla^T f(\xi)}_{0} + \frac{1}{2} \varepsilon v^T Hf(\xi +\Theta \varepsilon v) \epsilon v \quad \text{mit } \Theta \in (0,1)$$
		Also ist $v^T Hf(\xi + \Theta \varepsilon v) v \ge 0$. Für $\varepsilon \to 0$ folgt: $v^T Hf(\xi) v \ge 0$. Da $v \ne 0$
		beliebig war, ist $Hf(\xi)$ positiv semidefinit.
	\item
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Sei $Hf(\xi)$ positiv definit. Da $f$ eine $C^2$-Funktion ist, ist $Hf(x)$ dann auch in einer hinreichend kleinen
				Kreisumgebung $K_\varepsilon (\xi)$ mit Radius $\varepsilon$ und Mittelpunkt $\xi$ positiv definit. Für
				$x \in K_\varepsilon(\xi) \backslash \{\xi\}$ gilt daher nach Taylor:
				$$f(x) - f(\xi) = \underbrace{\nabla^T f(\xi)}_{0}(x-\xi) + \underbrace{\frac{1}{2} (x-\xi)^T Hf(\xi + \Theta(x-\xi))(x-\xi)}_{>0}$$
				mit $\Theta \in (0,1)$. \\
				Da $x \in K_\varepsilon(\xi) \backslash \{\xi\}$ beliebig war, folgt aus $f(x)-f(\xi) > 0$, dass $\xi$ ein striktes lokales Minimum ist.
			\item Sei nun $Hf(\xi)$ indefinit. Dann ex. Eigenwerte $\lambda, \mu$ von $Hf(\xi)$ mit $\lambda > 0, \mu < 0$. Für die
				entsprechenden Eigenvektoren $v, w$ gilt also:
				$$v^T Hf(\xi) v >0$$
				$$w^T Hf(\xi) w <0$$
				Wie in (a) zeigt man, dass es $\varepsilon_1, \varepsilon_2 >0$ gibt mit
				$$f(\xi + \varepsilon v)-f(\xi) = \frac{1}{2}\varepsilon v^T Hf(\xi + \Theta_1 \varepsilon v) \varepsilon v > 0$$
				$$f(\xi + \varepsilon w)-f(\xi) = \frac{1}{2}\varepsilon w^T Hf(\xi + \Theta_2 \varepsilon w) \varepsilon w < 0$$
				für geeignete $\Theta_1, \Theta_2 \in (0,1)$ und für alle $\varepsilon \in (0, min(\varepsilon_1, \varepsilon_2))$. \\
				Somit ist $\xi$ Sattelpunkt von $f$. 
		\end{enumerate}
\end{enumerate} \QED \\[0.5cm]
57.6 Bemerkung: \\
Nach Satz 57.5 gelten also folgende Implikationen.
$$\begin{array}{ccc} \xi \text{ lok. Minimum} & \Longleftarrow & \xi \text{ striktes lok. Minimum} \\ pfeilrunter & & pfeilhoch \\ Hf(\xi) \text{ pos. semidefinit} & \Longleftarrow & Hf(\xi) \text{ pos. definit}\end{array}$$
Keine dieser Implikationen ist umkehrbar! \\[0.5cm]
57.7 Beispiel: \\
$$f(x,y) = y^2(x-1) + x^2(x+1)$$
$$\nabla f(x,y) = \left( \begin{array}{c}y^2 + 3x^2 + 2x \\ 2y(x-1)\end{array} \right)$$
stationäre Punkte: $0 \stackrel{!}{=} \nabla f(x,y) \Rightarrow 2y(x-1) = 0$ \\
Fall 1: $x-1 = 0 \Rightarrow x=1$ \\
Einsetzen in $y^2 + 3x^2 + 2x = 0$ liefert: $y^2 + 5 = 0$. \\
Keine Lösung in $\SetR$. \\[0.3cm]
Fall 2: $y=0$. \\
Einsetzen in $y^2 +3x^2+2x = 0$ liefert: $$x(3x+2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = - \frac{2}{3}$$
Es gibt also 2 stationäre Punkte:
$$\xi = \left( \begin{array}{c}0 \\ 0\end{array} \right), \quad \eta = \left( \begin{array}{c}-\frac{2}{3} \\ 0\end{array} \right)$$
Klassifikation:
$$Hf(x,y) = \left( \begin{array}{cc}6x+2 & 2y \\ 2y & 2x-2\end{array} \right)$$
$$Hf(0,0) = \left( \begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & -2\end{array} \right) \quad \text{indefinit} \Rightarrow \text{Sattelpunkt in } \left( \begin{array}{c}0 \\ 0\end{array} \right)$$
$$Hf \left(-\frac{2}{3},0\right) = \left( \begin{array}{cc}-2 & 0 \\ 0 & -\frac{10}{3}\end{array} \right) \quad \text{negativ definit} \Rightarrow \text{striktes Maximum } \left( \begin{array}{c}-\frac{2}{3} \\ 0\end{array} \right)$$

\end{document}