\documentclass[12pt]{article}

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\author{}
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\begin{document}

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	\begin{figure}[htpb]
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			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\noindent§47: EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN SYMMETRISCHER MATRIZEN \\[0.8cm]
47.1. Motivation: Symmetrische Matrizen, d.h. Matrizen $A=(a_{ij}) \in \SetR^{n \times n}$ mit $a_{ij}=a_{ji} \forall i,j$, kommen in der Praxis sehr häufig vor. Gibt es in diesem Fall besonders einfache Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren? \\[0.5cm]
47.2. Satz (Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen): \\
Für eine symmerische Matrix $A \in \SetR^{n \times n}$ gilt:\\
a) Sämtliche Eigenwerte sind reell. \\
b) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.\\[0.5cm]
Beweis: \\
a) Sei $z=x + iy \in \SetC$ und $\overline{z}$ die komplex konjugierte Zahl $x-iy$.
   Dann ist $z\overline{z} = x^2 + y^2 \in \SetR$. Für Vektoren und Matrizen definiert man die komplexe Konjugation komponentenweise.
   Sei nun $\lambda$ Eigenwert von $A$ zum Eigenvektor $v$. \\
  $\Rightarrow \overline{\lambda}\overline{v}^T = \overline{(\lambda v)}^T v = \overline{(Av)}^T v$ \\
  $= \overline{v}^T\overline{A}^T v$ \\
  $= \overline{v}^T A v$, da A reell und symmetrisch ist \\
  $= \overline{v}^T \lambda v$ \\
  $= \lambda \overline{v}^T v$ \\
   Da $\overline{v}^Tv \in \SetR$ und $\neq 0$ (Eigenvektoren sind $\neq 0$), ist $\overline{\lambda}=\lambda$, d.h. $\lambda \in \SetR$. \\
b) Seien $v_1,v_2$ Eigenvektoren von $A$ zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda_1, \lambda_2$.
  $\Rightarrow \lambda_1 v_1^T v_2 = (Av_1)^T v_2$ \\
  $= v_1^T A^T v_2$ \\
  $= v_1^T (A v_2)$ da A symmetrisch \\
  $= v_1^T (\lambda_2 v_2)$ \\
  $= \lambda_2 v_1^T v_2$ \\
  $\Rightarrow (\underbrace{\lambda_1 - \lambda_2}_{\neq 0} v_1^T v_2 = 0 $
   Also sind $v_1$ und $v_2$ orthogonal.
   \QED \\[0.5cm]
47.3 Beispiel:
$\displaystyle A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array}\right)$ symmetrisch. \\
Eigenwerte:
\begin{eqnarray*}
	0 & = & det(A - \lambda I) = \left|\begin{array}{cc} 1- \lambda & 2 \\ 2 & 4-\lambda \end{array}\right| = (1-\lambda)(4-\lambda)-4 \\
	& = & 4 - \lambda - 4\lambda + \lambda^2 -4 = \lambda^2 - 5 \lambda = \lambda(\lambda -5)
\end{eqnarray*}
$\Rightarrow$ zwei reelle Eigenwerte: $\lambda_1 =0, \; \lambda_2 = 5$ \\
Eigenvektor zu $\lambda_1 = 0$:
\begin{eqnarray*}
(A - \lambda_1 I) v = 0 \Rightarrow \left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2\end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \end{array}\right) \text{ 2 linear abhängige Gleichungen} \\
x_1 +2x_2 & = & 0
\end{eqnarray*}
$x_2 := s \Rightarrow x_1 = -2x_2 =-2s$ \\
Eigenraum: $\displaystyle \left\{ \left(\begin{array}{r}-2s \\ s\end{array}\right) | s \in \SetR\right\}$ \\
Eigenvektor: z.B. $\displaystyle v_1 = \left(\begin{array}{r} -2 \\ 1\end{array}\right)$ \\[0.5cm]
Eigenvektor zu $\lambda_2 = 5$: 
\begin{eqnarray*}
(A - \lambda_2 I) v = 0 \Rightarrow \left(\begin{array}{rr} -4 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right) \text{ 2 linear abhängige Gleichungen} \\
2 x_1 - x_2 & = & 0
\end{eqnarray*}
$x_1 := s \Rightarrow x_2 = 2s$ \\
Eigenraum: $\displaystyle \left\{ \left( \begin{array}{c}s \\ 2s\end{array}\right) | s \in \SetR\right\}$ \\
Eigenvektor: z.B. $\displaystyle v_2 = \left(\begin{array}{c}1 \\ 2\end{array}\right)$ \\
$v_1$ und $v_2$ sind orthogonal. \\[0.5cm]
Symmetrische Matrizen lassen sich mit Hilfe ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren elegant zerlegen: \\[0.5cm]
47.4 Satz: (Hauptachsentransformation, Spektraldarstellung) \\
Sei $A \in \SetR^{n \times n}$ symmetrisch. Nach Satz 47.2 hat $A$ ein Orthonormalsystem von Eigenvektoren
$v_1, ..., v_n$ mit zugehörigen (nicht notwendigerweise verschiedenen) Eigenwerten $\lambda_1, ..., \lambda_n$.
Dann ist
$$ A = Q \Lambda Q^T $$
mit der orthogonalen Matrix $Q = (v_1|...|v_n)$ und der Diagonalmatrix
$$ A = diag(\lambda_1, ..., \lambda_n) = \left(\begin{array}{ccc} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 &  & \lambda_n\end{array}\right) $$
Beweis:\\
Nach Satz 47.2 sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal. Verwendet man innerhalb jedes Eigenraums das Gram-Schmidt-Verfahren
und normiert, entsteht ein Orthonormalsystem $\{v_1, ..., v_n\}$ von Eigenvektoren von $A$. Somit ist $Q=(v_1| ...| v_n)$ eine orthogonale Matrix.
Die $k$-te Spalte von $Q^TAQ$ lautet:
$$Q^T \underbrace{A v_k}_{\lambda_k v_k} = \lambda_k Q^T v_k = \lambda_k e_k \text{ mit } e_k \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \leftarrow k\text{-te Stelle}$$
Somit ist
$$ Q^TAQ = \left(\begin{array}{ccc}\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n\end{array}\right) = \Lambda$$ \QED \\[0.5cm]
47.5 Bemerkungen:
\subsubsection*{(a)}
Das bedeutet, dass $A$ auf Diagonalgestalt transformiert werden kann:
$$ \Lambda = Q^T A Q $$
(Durch den Übergang in das durch $Q = (v_1|...|v_n)$ definierte Koordinatensystem hat $A$ eine besonders einfache Gestalt.)
\subsubsection*{(b)}
$A$ lässt sich auch schreiben als
$$ A = \lambda_1 v_1 v_1^T + ... + \lambda_n v_n v_n^T$$
An dieser Schreibweise erkennt man sofort, dass $\lambda_1,..., \lambda_n$ Eigenwerte und $v_1,...,v_n$ Eigenvektoren von $A$ sind, denn
$$ A v_k = \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \underbrace{v_i^T v_k}_{=\left\{ \begin{array}{r@{\, , \,}l}0 & \text{für } i \ne k \\ 1 & \text{für } i = k \end{array}\right.} = \lambda_k v_k$$
47.6 Beispiel: \\
Wir bestätigen Satz 47.5, indem wir $\displaystyle A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ auf Diagonalgestalt transformieren.\\
Nach Beispiel 47.3 hat $A$ die Eigenwerte $\lambda_1 = 0$ und $\lambda_2 =5$ mit zugehörigen Eigenvektoren
$\displaystyle w_1 = \left(\begin{array}{r} -2 \\ 1\end{array}\right)$ und $\displaystyle w_2 = \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array}\right)$. \\
Normierung der Eigenvektoren ergibt:\\
$\displaystyle v_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} w_1$ und $\displaystyle v_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}w_2$. \\
Mit der orthogonalen Matrix
$$ Q = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$$
ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
Q^TAQ & = & \frac{1}{5} \left(\begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right) \\
& = & \frac{1}{5} \left(\begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 0 & 5 \\ 0 & 10\end{array}\right) \\
& = & \frac{1}{5} \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 25\end{array}\right) \\
& = & \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 5\end{array}\right) \\
& = & diag(\lambda_1, \lambda_2)
\end{eqnarray*}
wie nach Satz 47.5 (a) zu erwarten war.

\end{document}
