\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}

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	\begin{figure}[htpb]
		\centering
			\includegraphics[width=#1cm]{../#2}\\[0.2cm]
			\caption{#3}
			\label{#4}
	\end{figure}
	}

\noindent §56: NUMERISCHE DIFFERENTIATION \\[0.8cm]
56.1 Motivation: \\
In vielen Anwendungen muss man Ableitungen annähern von Funktionen, die nur diskret (d.h. an vereinzelten Punkten) vorliegen. Beispiele:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Geschwindigkeitsmessung durch die Polizei
	\item Temperaturmessung an einer Messstation
	\item Scannen von Personen mit einem 3D-Scanner
\end{enumerate}
Zur Bestimmung geeigneter numerischer Approximationsformeln und deren Genauigkeit benötigt man den Satz von Taylor. \\[0.5cm]
56.2 Problembeschreibung: (zunächst für Funktionen einer Variablen) \\
Annahme: Von einer kontinierlichen Funktion $u(x)$ sind nur die Funktionswerte auf einem äquidistanten Gitter
$\Gamma := \{x_i | x_i = i \cdot h, i \in \SetZ\}$ bekannt. Dabei bezeichnet $h$ die Gitterweite von $\Gamma$. \\
Ges.: Approximation an eine Ableitung $u^{(k)}$ an einer Stelle $\xi$ (die nicht unbedingt auf dem Gitter liegen muss) mit Hilfe der Messwerte
$u_i$: Finite-Differenzen-Approximation \\[0.5cm]
56.3 Beispiel: \\
$u''$ soll im Punkt $x_i$ mit Hilfe der 3 Messwerte $u_{i-1}, u_i, u_{i+1}$ approximiert werden. Wir suchen also Koeffizienten
$\alpha, \beta, \gamma$, sodass $u_i'' \approx \alpha u_{i-1} + \beta u_i + \gamma u_{i+1}$. \\
Der Approximationsfehler soll dabei höchstens $\OnotO(h)$ betragen. \\[0.3cm]
Lösung: \\
Wir fordern: $u_i'' = \alpha u_{i-1} + \beta u_i + \gamma u_{i+1} + \OnotO(h)$. \\
Mit einer Taylorentwicklung um $x_i$ folgt (für eine hinreichend oft differentierbare Funktion):
\begin{eqnarray*}
	\alpha u_{i-1} + \beta u_i + \gamma u_{i+1} & = & \alpha \left( u_i - h_i' + \frac{1}{2} h^2 u_i'' + \OnotO(h^3) \right) \\
	& & + \beta u_i \\
	& & + \gamma \left( u_i + h u_i' + \frac{1}{2} h^2 u_i'' + \OnotO(h^3) \right) \\
	& = & u_i ( \alpha + \beta + \gamma ) + u_i' ( -h\alpha + h\gamma ) + u_i'' \left( \frac{h^2}{2}\alpha + \frac{h^2}{2} \gamma \right) + \OnotO(h^3)
\end{eqnarray*}
Da dies mit $u_i'' = 0 \cdot u_i + 0 \cdot u_i' + 1 \cdot u_i''$ übereinstimmen soll, liefert ein Koeffizientenvergleich das lineare Gleichungssystem
\begin{eqnarray*}
	(i) \quad \alpha + \beta + \gamma & = & 0 \\
	(ii) \quad -h\alpha + h\gamma & = & 0 \\
	(iii) \quad \frac{h^2}{2}\alpha + \frac{h^2}{2}\gamma & = & 1
\end{eqnarray*}
Aus $(ii)$ folgt: $\alpha = \gamma$ \\
in $(iii)$ $\displaystyle h^2 \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{1}{h^2} = \gamma$ \\
in $(i)$ $\displaystyle \beta = -\alpha - \gamma = \frac{2}{h^2}$ \\
Also gilt:
$$u_i'' \approx \frac{1}{h^2}(u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})$$
Wie genau ist diese Approximation? \\
Mit der ausführlicheren Taylorentwicklung
$$u_{i \pm 1} = u_i \pm h u_i' + \frac{1}{2}h^2 u_i'' \pm \frac{h^3}{6}u_i''' + \frac{h^4}{24}u_i^{(4)} \pm \frac{h^5}{120} u_i^{(5)} + \frac{h^6}{720}u_i^{(6)} + \OnotO(h^7)$$
folgt durch Einsetzen:
$$\frac{1}{h^2} (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) = u_i'' + \underbrace{\frac{1}{12}h^2u_i^{(4)}}_{\text{führender Fehlerterm}} + \OnotO(h^4)$$
Der führende Fehlerterm hat also die Ordnung $\OnotO(h^2)$. Man sagt daher, die Approximation
$\displaystyle u_i'' \approx \frac{1}{h^2} (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})$ hat die Konsistenzordnung:
$$\OnotO(h^2): \quad u_i'' = \frac{1}{h^2} (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) + \OnotO(h^2)$$
56.4 Anmerkungen:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Höhere Konsistenzordnung bedeutet bessere Approximation (für $h \to 0$). Hat eine Approximation mindestens lineare
		Konsistenzordnung $(\OnotO(h))$, so heißt sie konsistent. Dies ist die Minimalforderung, die eine Approximation erfüllen muss.
	\item Die Konsistenzordnung hängt vom Entwicklungspunkt ab! \\
		Beispiel: \\
		Approximiert man mit $u_i, u_{i+1}$ den Wert $u_i'$, so folgt aus der Taylorentwicklung um $x_i$:
		$$u_{i+1} = u_i + h u_i' + \frac{h^2}{2} u_i'' + \OnotO(h^3)$$
		die Approximation der Ordnung $\OnotO(h)$
		$$u_i' = \frac{u_{i+1}-u_i}{h} + \frac{1}{2} hu_i'' + \OnotO(h^2)$$
		Entwickelt man $u_i, u_{i+1}$ um $u_{i + \frac{1}{2}}$:
		\begin{eqnarray*}
			u_{i+1} & = & u_{i + \frac{1}{2}} + \frac{h}{2} u_{i+\frac{1}{2}}' + \frac{1}{2} \left(\frac{h}{2}\right)^2u_{i+\frac{1}{2}}'' + \frac{1}{6} \left(\frac{h}{2}\right)^3u_{i+\frac{1}{2}}^{(3)} + \OnotO(h^4) \\
			u_i & = & u_{i+\frac{1}{2}} - \frac{h}{2}u_{i+\frac{1}{2}}' + \frac{1}{2} \left(-\frac{h}{2}\right)^2 u_{i+\frac{1}{2}}'' + \frac{1}{6} \left(-\frac{h}{2}\right)^3 u_{i+\frac{1}{2}}^{(3)} + \OnotO(h^4)
		\end{eqnarray*}
		ergibt sich eine $\OnotO(h^4)$-Approximation:
		$$u_{i+\frac{1}{2}}' = \frac{u_{i+1} - u_i}{h} + \frac{1}{24}h^2 u_{i+\frac{1}{2}}'' + \OnotO(h^4)$$
	\item Durch Hinzunahme weiterer Gitterpunkte gelingt es oft, die Konsistenzordnung zu verbessern:
		\begin{eqnarray*}
			u_i' & = & \frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h} + \OnotO(h^2) \\
			u_i' & = & \frac{-u_{i+2} + 8 u_{i+1} - 8 u_{i-1} + u_{i-2}}{12h} + \OnotO(h^4)
		\end{eqnarray*}
	\item Wichtige Approximationen: \\
		erste Ableitung:
		\begin{eqnarray*}
			u_i' & = & \frac{u_{i+1}-u_i}{h} + \OnotO(h) \quad \text{Vorwärtsdifferenz} \\
			u_i' & = & \frac{u_i-u_{i-1}}{h} + \OnotO(h) \quad \text{Rückwärtsdifferenz} \\
			u_i' & = & \frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h} + \OnotO(h^2) \quad \text{zentrale Differenz}
		\end{eqnarray*}
		zweite Ableitung:
		$$ u_i'' = \frac{u_{i+1}-2u_i + u_{i-1}}{h^2} + \OnotO(h^2)$$
	\item Will man partielle Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen approximieren, benötigt man oft Taylorentwicklungen in mehreren
		Variablen (vgl. Satz 55.6). \\
		Beispiel:
		$$\left. \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \right|_{i,j} = \frac{1}{4hk} (u_{i+1,j+1} + u_{i-1,j-1} - u_{i+1,j-1} - u_{i-1,j+1}) + \OnotO(h^2+k^2)$$
		mit $u_{i,j} = u(x_i, y_j)$ und $x_i = ih$, $y_j = jk$.  \\
		Manchmal reichen auch 1-dim. Taylorentwicklungen: \\
		Beispiel:
		\begin{eqnarray*}
			\left. \Delta u \right|_{i,j} & = & \left. \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right|_{i,j} \\
			& = & \frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2} + \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{h^2} + \OnotO(h^2+k^2)
		\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
56.5 Anwendung auf die Diskretisierung von Differentialgleichungen \\
Ersetzt man die Ableitungen durch Differenzenapproximation, entstehen so genannte Finite-Differenzen-Verfahren. \\
Beispiel: \\
Die eindimensionale Diffusionsgleichung (vgl. 52.13 (c)) $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ soll mit
einem einfachen Finite-Differenzen-Verfahren approximiert werden. \\
Bezeichnet $u_i^k$ eine Approximation an $u(x,t)$ im Punkt $(ih,k \tau)$, verwendet man beispielsweise
\begin{eqnarray*}
	\left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_i^k & = & \frac{u_i^{k+1} - u_i^k}{\tau} + \OnotO(\tau) \\[0.2cm]
	\left. \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right|_i^k & = & \frac{u_{i+1}^k - 2u_i^k + u_{i-1}^k}{h^2} + \OnotO(h^2)
\end{eqnarray*}
lautet die Approximation
$$\frac{u_i^{k+1} - u_i^k}{\tau} = \frac{u_{i+1}^k - 2u_i^k + u_{i-1}^k}{h^2}$$
Kennt man die Funktionswerte zur Zeitschicht $k=0$, kann man damit die neuen Werte der Schichten $k=1,2,3,..$ iterativ berechnen: \\
Für $k=0,1,2,...$
\begin{eqnarray*}
	u_i^{k+1} & = & u_i^k + \frac{\tau}{h^2} (u_{i+1}^k -2u_i^k + u_{i-1}^k) \\
	& = & \frac{\tau}{h^2} u_{i+1} + \left( 1-2\frac{\tau}{h^2} \right) u_i + \frac{\tau}{h^2} u_{i-1}
\end{eqnarray*}
$u_i^{k+1}$ entsteht also durch gewichtete Mittelung aus $u_{i+1}^k, u_i^k, u_{i-1}^k$.

\end{document}