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\begin{document}

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\thispagestyle{empty}

\title{Mathematik für Informatiker II - Übungsblatt 5
	Übungsgruppe D5, Do 11-13 \\	
	Vogel}
\author{Jan Hendrik Dithmar (Matrikelnummer 2031259) \\
	Dirk Heine (Matrikelnummer 2030941)}
\date{}

\maketitle

\newpage

\section*{Aufgabe 1}
\subsubsection*{(b)}
$$M := \left(\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{3} \\ \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$$
ges.: $\kappa (M) = \|M\|_2 \cdot \|M^{-1}\|_2$ bezügl. der Spektralnorm $\|\cdot\|_2$. \\[0.5cm]
Berechne $\|M\|_2$: \\
Da $M$ symmetrisch $\Rightarrow \|M\|_2 = \underset{k}{max} \{|\lambda_k| \; | \; \lambda_k \text{ EW von } M\}$ \\
Eigenwerte von $M$:
\begin{eqnarray*}
	det(M - \lambda \cdot I) & = & \left| \begin{array}{cc}1-\lambda & \frac{1}{3} \\ \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{6}-\lambda\end{array} \right| \\
	& = & (1-\lambda)\left(\frac{1}{6}-\lambda\right)-\frac{1}{9} = 0 \\ \\
	\frac{1}{6} - \lambda - \frac{1}{6}\lambda + \lambda^2 - \frac{1}{9} & = & 0 \\
	\lambda^2 + \frac{7}{6} \lambda + \frac{1}{18} & = & 0 \\
	\lambda_{1,2} & = & \frac{7}{12} \pm \sqrt{\frac{49}{144} - \frac{8}{144}} = \frac{7}{12} \pm \frac{1}{12}\sqrt{41} \\
	\lambda_1 & = & \frac{7}{12} + \frac{1}{12} \sqrt{41} \\
	\lambda_2 & = & \frac{7}{12} - \frac{1}{12} \sqrt{41} \\ \\
	\Rightarrow \|M\|_2  & = & |\lambda_1| \\
	& = & \frac{7}{12} + \frac{1}{12}\sqrt{41} \\
	\|M\|_2 & = & \frac{1}{12} \cdot (7+\sqrt{41})
\end{eqnarray*}
Bestimme $M^{-1}$:
$$
\begin{array}{cc|cc}
	1 & \frac{1}{3} & 1 & 0 \\[0.2cm]
	\frac{1}{3} & \frac{1}{6} & 0 & 1 \\[0.2cm] \hline
	1 & \frac{1}{3} & 1 & 0 \\[0.2cm]
	0 & \frac{1}{18} & - \frac{1}{3} & 1 \\[0.2cm] \hline
	1 & 0 & 3 & -6 \\[0.2cm]
	0 & \frac{1}{18} & - \frac{1}{3} & 1 \\[0.2cm] \hline
	1 & 0 & 3 & -6 \\[0.2cm]
	0 & 1 & -6 & 18
\end{array}
$$
$$\Rightarrow M^{-1} = \left(\begin{array}{rr}3 & -6 \\ -6 & 18\end{array}\right)$$
$M^{-1}$ ist symmetrisch $\Rightarrow \|M^{-1}\|_2 = \underset{k}{max} \{ |\mu_k| \; | \; \mu_k \text{ EW von } M^{-1}\}$ \\
Berechnung der Eigenwerte von $M^{-1}$:
\begin{eqnarray*}
	det(M^{-1} - \mu \cdot I) & = & 0 \\
	\left| \begin{array}{cc}3-\mu & -6 \\ -6 & 18-\mu\end{array}\right| & = & 0 \\
	\Rightarrow (3-\mu) \cdot (18-\mu) - 36 & = & 0 \\
	\Leftrightarrow 54 - 3\mu - 18\mu + \mu^2 -36 & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \mu^2 - 21\mu + 18 & = & 0 \\
	\mu_{1,2} & = & \frac{21}{2} \pm \sqrt{\frac{441}{4} - \frac{72}{4}} = \frac{21}{2} \pm \sqrt{\frac{369}{4}} \\
	\mu_{1,2} & = & \frac{21}{2} \pm \frac{3}{2} \sqrt{41} \\ \\
	\Rightarrow \|M^{-1}\|_2 & = & |\mu_1| \\
	& = & \left(\frac{21}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{41}\right) \\
	& = & \frac{3}{2} (7+\sqrt{41})
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow \kappa(M) & = & \|M\|_2 \cdot \|M^{-1}\|_2 \\
	& = & \frac{1}{12} \cdot (7+\sqrt{41}) \cdot \frac{3}{2} \cdot (7+\sqrt{41}) \\
	& = & \frac{1}{8} \cdot (7+\sqrt{41})^2 \\
	& = & \frac{1}{8} \cdot (49 + 14\sqrt{41} + 41) \\
	& = & \frac{1}{8} \cdot (90 + 14\sqrt{41}) \\
	& = & \frac{1}{4} \cdot (45 + 7\sqrt{41})
\end{eqnarray*}

\section*{Aufgabe 2}
$$M:= \left(\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{3} \\[0.2cm] \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$$
Bestimmung von Nährungswerten für den dominanten Eigenwert und den zugehörigen Eigenvektor der Matrix $M$ mittels einfacher Vektoriteration: \\
Startvektor $u_0 = \left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right)$; da $u_0$ normiert: $v_0 = \left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right)$ \\
\begin{eqnarray*}
	u_1 & = & Mv_0 = \left(\begin{array}{c}1 \\[0.2cm] \frac{1}{3}\end{array}\right) \\
	v_1 & = & \frac{u_1}{|u_1|} = \frac{1}{\sqrt{\frac{10}{9}}} \left(\begin{array}{c}1 \\[0.2cm] \frac{1}{3}\end{array}\right) \\
	& = & \frac{3}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{c}1 \\[0.2cm] \frac{1}{3}\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{c}3 \\ 1\end{array}\right) \\
	v_1 & \approx & \left(\begin{array}{c}0.948683 \\ 0.316228\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
Die Rayleigh-Quotienten $R_M(v_k)$ konvergieren gegen den dominanten Eigenwert $\lambda_1$.
$$R_M(v_0) = \frac{v_0^T\overbrace{Mv_0}^{u_1}}{\underbrace{v_0^Tv_0}_{=1}} = v_0^T u_1 = (1,0) \left(\begin{array}{c}1 \\[0.2cm] \frac{1}{3}\end{array}\right) = 1$$
\begin{eqnarray*}
	u_2 & = & Mv_1 = \left(\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{3} \\[0.2cm] \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{10}} \\[0.2cm] \frac{7}{6\sqrt{10}}\end{array}\right) = \frac{1}{6\sqrt{10}} \left(\begin{array}{c}20 \\ 7\end{array}\right) \\
	|u_2| & = & \frac{1}{6\sqrt{10}}\cdot\sqrt{449} \\
	\Rightarrow v_2 & = & \frac{u_2}{|u_2|} = \frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{449}} \cdot \frac{1}{6\sqrt{10}} \left(\begin{array}{c}20 \\ 7\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{\sqrt{449}}\left(\begin{array}{c}20 \\ 7\end{array}\right) \\
	v_2 & \approx & \left(\begin{array}{c}0.943858 \\ 0.330350\end{array}\right) \\ \\
	R_M(v_1) & = & v_1^Tu_2 = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot (3,1) \cdot \frac{1}{6\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}20 \\ 7\end{array}\right)\\
	& = & \frac{1}{60}\cdot 67 = \frac{67}{60} \\
	R_M(v_1) & \approx & 1.1166667
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	u_3 & = & Mv_2 = \left(\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{3} \\[0.2cm] \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{array}\right) \frac{1}{\sqrt{449}}\left(\begin{array}{c}20 \\ 7\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{\sqrt{449}} \left(\begin{array}{c}\frac{67}{3} \\[0.2cm] \frac{47}{6}\end{array}\right) \\
	u_3 & = & \frac{1}{6\sqrt{449}} \left(\begin{array}{c}134 \\ 47\end{array}\right) \\
	|u_3| & = & \frac{1}{6\sqrt{449}} \sqrt{20165} \\
	\Rightarrow v_3 & = & \frac{u_3}{|u_3|} = \frac{1}{\sqrt{20165}}\left(\begin{array}{c}134 \\ 47\end{array}\right) \\
	v_3 & \approx & \left(\begin{array}{c}0.943639 \\ 0.330978\end{array}\right) \\ \\
	R_M(v_2) & = & v_2^Tu_3 = \frac{1}{\sqrt{449}} \cdot (20,7) \cdot \frac{1}{6\sqrt{449}}\left(\begin{array}{c}134 \\ 47\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{2694}\cdot 3009 = \frac{3009}{2694} \\
	R_M(v_2) & \approx & 1.1169265
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	u_4 & = & Mv_3 = \left(\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{3} \\[0.2cm] \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{array}\right) \frac{1}{\sqrt{20165}} \left(\begin{array}{c}134 \\ 47\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{\sqrt{20165}} \left(\begin{array}{c}\frac{449}{3} \\[0.2cm] \frac{315}{6}\end{array}\right) \\
	u_4 & = & \frac{1}{6\sqrt{20165}}\left(\begin{array}{c}898 \\ 315\end{array}\right) \\
	|u_4| & = & \frac{1}{6\sqrt{20165}} \sqrt{905629} \\
	\Rightarrow v_4 & = & \frac{u_4}{|u_4|} = \frac{1}{\sqrt{905629}} \left(\begin{array}{c}898 \\ 315\end{array}\right) \\
	v_4 & \approx & \left(\begin{array}{c}0.943629 \\ 0.331006\end{array}\right) \\ \\
	R_M(v_3) & = & v_3^Tu_4 = \frac{1}{\sqrt{20165}} \cdot (134,47) \cdot \frac{1}{6\sqrt{20165}} \left(\begin{array}{c}898 \\ 315\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{120990} \cdot 135137 = \frac{135137}{120990} \\
	R_M(v_3) & \approx & 1.1169270
\end{eqnarray*}
Vergleicht man die letzte Approxmimation mit $\lambda_1 = \frac{7}{12} + \frac{1}{12}\sqrt{41} \approx 1.1169270$ auf Aufgabe 1 (b) erkennt man deren Genauigkeit. \\
Ein normierter Eigenvektor $v$ zum dominanten Eigenwert $\lambda_1 = \frac{7}{12} + \frac{1}{12}\sqrt{41}$:
$$
\left(\begin{array}{cc|c}\frac{5}{12} - \frac{1}{12}\sqrt{41} & \frac{1}{3} & 0 \\[0.2cm] \frac{1}{3} & -\frac{5}{12}-\frac{1}{12}\sqrt{41} & 0\end{array}\right)
\leadsto \left(\begin{array}{cc|c}5-\sqrt{41} & 4 & 0 \\ 4 & -5-\sqrt{41} & 0\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{cc|c}-20+4\sqrt{41} & -16 & 0 \\ 20-4\sqrt{41} & 16 & 0\end{array}\right)
\leadsto \left(\begin{array}{cc|c}5-\sqrt{41} & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)
$$ \\
Sei $u_1 = 4 \Rightarrow u_2 = \sqrt{41}-5$ \\
$$u = \left(\begin{array}{c}4 \\[0.2cm] \sqrt{41}-5\end{array}\right)$$
normieren: $$|u| = \sqrt{16+41-10\sqrt{41}+25} = \sqrt{82-10\sqrt{41}} \approx 4.23896$$
$$\Rightarrow \text{ Eigenvektor } v= \frac{1}{\sqrt{82-10\sqrt{41}}} \left(\begin{array}{c}4 \\[0.2cm] \sqrt{41}-5\end{array}\right) \approx \left(\begin{array}{c}0.9436283 \\ 0.3310069\end{array}\right)$$

\section*{Aufgabe 3}
Man bildet im $n$-ten Schritt des Verfahrens aus der Matrix $A=(a_{kl})_{k,l=1,...,N}$ die Matrix $\tilde{A}:=O_n^TAO_n$ mit $O_n = Q(i,j,\varphi_n)$, $O_n$ wie auf dem
Aufgabenblatt angegeben, für $\displaystyle -\frac{\pi}{4} < \varphi_n \le \frac{\pi}{4}$. Für die transformierte Matrix $\tilde{A} = (\tilde{a}_{kl})_{k,l=1,...,N}$ soll gelten:
$$\tilde{a}_{ij} = 0 \quad \AND \quad \tilde{a}_{ji} = 0 \quad \text{für } 1 \le i < j \le N$$
{\bfseries Achtung:} Die auf dem Aufgabenblatt für $\varphi_n$ angegebene Formel ist nur dann richtig, wenn in der Matrix $O_n$ die Terme $sin(\varphi_n)$ durch
$-sin(\varphi_n)$ ersetzt werden. Für die auf dem Aufgabenblatt definierte Matrix $O_n$ muss die Behauptung lauten: \\[0.5cm]
Behauptung: \\
Damit für die transformierte Matrix $\tilde{a}_{ij}=\tilde{a}_{ji}=0$ gilt, muss der Drehwinkel $\varphi_n$ gemäß der Formel
$$\varphi_n = arctan \frac{a_{ii}-a_{jj} \pm \sqrt{(a_{ii}-a_{jj})^2 + 4a_{ij}^2}}{2a_{ij}}$$
gewählt werden, wobei für $\pm$ das Operationszeichen $+$ zu wählen ist, wenn $a_{jj}>a_{ii}$, jedoch $-$, wenn $a_{jj}<a_{ii}$. D.h.: die Doppelindizes $ii$ und $jj$ sind
zu vertauschen. \\
Beweis der Behauptung: \\
Berechnet man $\tilde{A} := O_n^TAO_n$, so erhält man $\tilde{A} = (\tilde{a}_{ij}) = (\tilde{a}_{ji})_{i,j=1,...,N}$ mit
\begin{eqnarray}
	\tilde{a}_{mi} & = & \tilde{a}_{im} = a_{mi} \cdot cos(\varphi_n) - a_{mj} \cdot sin(\varphi_n), \quad m \ne i,j \\
	\tilde{a}_{mj} & = & \tilde{a}_{jm} = a_{mj} \cdot cos(\varphi_n) + a_{mi} \cdot sin(\varphi_n), \quad m \ne i,j \\
	\tilde{a}_{ii} & = & a_{ii} \cdot cos^2(\varphi_n) - 2a_{ij} cos(\varphi_n) sin(\varphi_n) + a_{jj} sin^2(\varphi_n) \\
	\tilde{a}_{jj} & = & a_{jj} \cdot cos^2(\varphi_n) - 2a_{ij} cos(\varphi_n) sin(\varphi_n) + a_{ii} sin^2(\varphi_n) \\
	\tilde{a}_{ij} & = & \tilde{a}_{ji} = (a_{ii} - a_{jj}) \cdot cos(\varphi_n) sin(\varphi_n) + a_{ij} (cos^2(\varphi_n) - sin^2(\varphi_n)) \\
	\tilde{a}_{mp} & = & a_{mp} \quad \text{sonst}
\end{eqnarray}
Aus der Forderung $\tilde{a}_{ij} = \tilde{a}_{ji}=0$ folgt gemäß (5):
\begin{eqnarray*}
	(a_{ii}-a_{jj}) \cdot cos(\varphi_n) sin(\varphi_n) + a_{ij}(cos^2(\varphi_n)-sin^2(\varphi_n)) & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \frac{1}{2} (a_{ii}-a_{jj}) sin(2\varphi_n) + a_{ij} cos(2\varphi_n) & = & 0 \quad (*) \\
	& \text{mit} & -\frac{\pi}{4} < \varphi_n \le \frac{\pi}{4}
\end{eqnarray*}
Für $a_{ii}-a_{jj} = 0 \Leftrightarrow a_{ii} = a_{jj}$ folgt aus $(*)$:
\begin{eqnarray*}
	\underbrace{a_{ij}}_{\ne 0} \cdot cos(2\varphi_n) & = & 0 \\
	\Rightarrow cos(2\varphi_n) & = & 0 \\
	\Rightarrow 2 \varphi_n & = & \frac{\pi}{2} \\
	\Leftrightarrow \varphi_n & = & \frac{\pi}{4}
\end{eqnarray*}
Für $a_{ii} = a_{jj}$ folgt aus der Formel für $\varphi_n$:
\begin{eqnarray*}
	\varphi_n & = & arctan\frac{\pm \sqrt{4a_{ij}^2}}{2a_{ij}} \\
	& = & arctan \left(\pm \sqrt{\frac{4a_{ij}^2}{4a_{ij}^2}}\right) \\
	& = & arctan (\pm 1)
\end{eqnarray*}
und somit $\displaystyle \varphi_n = \frac{\pi}{4}$, wenn man für $\pm$ das Operationszeichen $+$ wählt. \\
Die Behauptung gilt also für den Fall $a_{ii} = a_{jj}$; in diesem Fall ist $\displaystyle \varphi_n = \frac{\pi}{4}$ zu wählen. \\[0.5cm]
Sei nun $a_{ii} \ne a_{jj}$:\\
Dann ist $\displaystyle \varphi_n \in \left] \left. -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right[ \right. \Rightarrow 2 \varphi_n \in \left] \left. -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ \right.$
und $cos(2\varphi_n) > 0$. \\
Dann folgt aus $(*)$:
\begin{eqnarray*}
	\frac{1}{2} (a_{ii}-a_{jj}) \cdot tan(2\varphi_n) + a_{ij} & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot (a_{ii}-a_{jj}) \cdot \frac{2 tan(\varphi_n)}{1-tan^2(\varphi_n)} + a_{ij} & = & 0 \quad (**)
\end{eqnarray*}
Zwischenbemerkung:
\begin{eqnarray*}
	-\frac{\pi}{4} < \varphi_n < \frac{\pi}{4} & \Rightarrow & tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) < tan(\varphi_n) < tan\left(\frac{\pi}{4}\right), \text{ da } tan \nearrow \text{ in } \left] \left. -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right[ \right. \\
	\Rightarrow -1 < tan(\varphi_n) < 1 \\
	\Rightarrow tan^2(\varphi_n) < 1 \\
	\Leftrightarrow 1-tan^2(\varphi_n) > 0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	(**) \Leftrightarrow (a_{ii}-a_{jj}) \cdot tan(\varphi_n) + a_{ij} - a_{ij} tan^2(\varphi_n) & = & 0 \\
	\Leftrightarrow a_{ij}tan^2(\varphi_n) - (a_{ii}-a_{jj}) tan(\varphi_n) - a_{ij} & = & 0 \\
	tan^2(\varphi_n) - \frac{a_{ii}-a_{jj}}{a_{ij}} tan(\varphi_n) -1 & = & 0
\end{eqnarray*}
Setze $tan(\varphi_n) =: t$
$$\Rightarrow t^2 - \frac{a_{ii}-a_{jj}}{a_{ij}} t -1 = 0$$
\begin{eqnarray*}
	t_{1,2} & = & \frac{a_{ii}-a_{jj}}{2a_{ij}} \pm \sqrt{\frac{(a_{ii}-a_{jj})^2}{4a_{ij}^2} + \frac{4a_{ij}^2}{4a_{ij}^2}} \\
	t_{1,2} & = & \frac{a_{ii}-a_{jj}}{2a_{ij}} \pm \frac{\sqrt{(a_{ii}-a_{jj})^2 + 4a_{ij}^2}}{2 |a_{ij}|} \\
	t & = & \left\{ \begin{array}{l}\frac{a_{ii}-a_{jj}}{2a_{ij}} \pm \frac{\sqrt{(a_{ii}-a_{jj})^2+4a_{ij}^2}}{2a_{ij}}, \quad a_{ij}>0 \\ \frac{a_{ii}-a_{jj}}{2a_{ij}} \mp \frac{\sqrt{(a_{ii}-a_{jj})^2+4a_{ij}^2}}{2a_{ij}}, \quad a_{ij}<0\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
Also gilt:
$$t = tan(\varphi_n) = \frac{a_{ii}-a_{jj} \pm \sqrt{(a_{ii}-a_{jj})^2 + 4a_{ij}^2}}{2a_{ij}}$$
$$\Rightarrow \varphi_n = arctan \frac{a_{ii}-a_{jj} \pm \sqrt{(a_{ii}-a_{jj})^2+4a_{ij}^2}}{2a_{ij}}$$ \\[0.3cm]
1. Fall: $a_{jj} < a_{ii} \Leftrightarrow a_{ii}-a_{jj} > 0$ \\
\fbox{$ * $} In diesem Fall ist das Operationszeichen $-$ zu wählen. \\
Beweis: \\
Fall $a_{ij}>0$: \\
Annahme: \fbox{$*$} gilt nicht
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow \frac{a_{ii}-a_{jj} + \sqrt{(a_{ii}-a_{jj})^2+4a_{ij}^2}}{2a_{ij}} & > & \frac{a_{ii}-a_{jj} + \sqrt{4a_{ij}^2}}{2a_{ij}} \\
	& = & \frac{a_{ii}-a_{jj} + 2a_{ij}}{2a_{ij}} \\
	& = & \underbrace{\frac{a_{ii}-a_{jj}}{2a_{ij}}}_{>0} + 1 \\
	& > & 1
\end{eqnarray*}
$$\Rightarrow tan(\varphi_n) > 1 \Rightarrow \varphi_n \not\in \left]-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Also gilt \fbox{$*$}. \\
Fall $a_{ij}<0$: \\
Annahme: \fbox{$*$} gilt nicht
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow \frac{a_{ii}-a_{jj} + \sqrt{(a_{ii}-a_{jj})^2 + 4a_{ij}^2}}{2a_{ij}} & < & \frac{a_{ii}-a_{jj}+\sqrt{4a_{ij}^2}}{2a_{ij}} \\
	& = & \frac{a_{ii}-a_{jj} - 2a_{ij}}{2a_{ij}} \\
	& = & \underbrace{\frac{a_{ii}-a_{jj}}{2a_{ij}}}_{<0} - 1 \\
	& < & -1
\end{eqnarray*}
$$\Rightarrow tan(\varphi_n) < -1 \Rightarrow \varphi_n \not\in \left] -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Also gilt \fbox{$*$}. \\[0.3cm]
2. Fall: $a_{jj}>a_{ii} \Leftrightarrow a_{ii}-a_{jj} < 0$ \\
\fbox{$**$} In diesem Fall ist das Operationszeichen $+$ zu wählen. \\
Beweis: \\
Fall $a_{ij}>0$ \\
Annahme: \fbox{$**$} gilt nicht
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow \frac{a_{ii}-a_{jj} - \sqrt{(a_{ii}-a_{jj})^2 + 4a_{ij}^2}}{2a_{ij}} & < & \frac{a_{ii}-a_{jj} - \sqrt{4a_{ij}^2}}{2a_{ij}} \\
	& = & \frac{a_{ii}-a_{jj}-2a_{ij}}{2a_{ij}} \\
	& = & \underbrace{\frac{a_{ii}-a_{jj}}{2a_{ij}}}_{<0} -1 \\
	& < & -1
\end{eqnarray*}
$$\Rightarrow tan(\varphi_n) < -1 \Rightarrow \varphi_n \not\in \left]-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Also gilt \fbox{$**$}. \\
Fall $a_{ij}<0$ \\
Annahme: \fbox{$**$} gilt nicht
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow \frac{a_{ii}-a_{jj}-\sqrt{(a_{ii}-a_{jj})^2+4a_{ij}^2}}{2a_{ij}} & > & \frac{a_{ii}-a_{jj}-\sqrt{4a_{ij}^2}}{2a_{ij}} \\
	& = & \frac{a_{ii}-a_{jj}+2a_{ij}}{2a_{ij}} \\
	& = & \underbrace{\frac{a_{ii}-a_{jj}}{2a_{ij}}}_{>0} +1 \\
	& > & 1
\end{eqnarray*}
$$\Rightarrow tan(\varphi_n) > 1 \Rightarrow \varphi_n \not\in \left]-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Also gilt \fbox{$**$}. \QED

\section*{Aufgabe 4}
Sei $\| \cdot \|: \SetR^2 \to \SetR$ die euklidische Norm im $\SetR^2$; sei $y=(y_1,y_2)^T \in \SetR^2$ ein beliebiger Punkt und $x:=(x_1,x_2)^T \in \SetR^2$. \\
Betrachte die Funktion
$$ N_y : \SetR^2 \to \SetR; \quad x \mapsto ln\|x-y\|$$
Aus $x-y = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}y_1 \\ y_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x_1-y_1 \\ x_2-y_2\end{array}\right)$ folgt:
\begin{eqnarray*}
	\|x-y\| & = & \sqrt{(x-y)(x-y)} = \sqrt{\left(\begin{array}{c}x_1-y_1 \\ x_2-y_2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x_1-y_1 \\ x_2-y_2\end{array}\right)} \\
	& = & \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2} \\ \\
	\Rightarrow N_y(x_1,x_2) & = & ln\sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}
\end{eqnarray*}
\subsubsection*{(a)}
\begin{eqnarray*}
	grad \; N_y(x) & := & \nabla N_y(x) = \left(\begin{array}{c}\frac{\partial N_y}{\partial x_1}(x) \\[0.2cm] \frac{\partial N_y}{\partial x_2}(x)\end{array}\right) \\ \\
	\frac{\partial N_y}{\partial x_1}(x_1,x_2) & = & \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}} \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot (x_1-y_1)}{2 \cdot \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}} \\
	& = & \frac{x_1-y_1}{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2} \\ \\
	\frac{\partial N_y}{\partial x_2}(x_1,x_2) & = & \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}} \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot (x_2-y_2)}{2\sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}} \\
	& = & \frac{x_2-y_2}{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}
\end{eqnarray*}
Ergebnis:
$$grad \; N_y(x_1,x_2) = \left(\begin{array}{c}\frac{x_1-y_1}{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2} \\[0.2cm] \frac{x_2-y_2}{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}\end{array}\right)$$

\subsubsection*{(b)}
\begin{eqnarray*}
	HN_y(x_1,x_2) & = & \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial^2 N_y}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 N_y}{\partial x_1 \partial x_2} \\[0.2cm] \frac{\partial^2 N_y}{\partial x_2x_1} & \frac{\partial^2 N_y}{\partial x_2^2}\end{array}\right) \\ \\
	\frac{\partial^2 N_y}{\partial x_1^2}(x_1,x_2) & = & \frac{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 - (x_1-y_1) \cdot 2(x_1-y_1)}{\left[(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2\right]^2} \\
	& = & \frac{(x_2-y_2)^2 - (x_1-y_1)^2}{\left[(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2\right]^2} \\ \\
	\frac{\partial^2 N_y}{\partial x_1 \partial x_2} & := & \frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial N_y}{\partial x_2}\right) \\
	& = & \frac{0 \cdot \left[(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2\right] - (x_2-y_2) \cdot 2(x_1-y_1)}{\left[(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2\right]^2} \\
	& = & \frac{-2(x_1-y_1) \cdot (x_2-y_2)}{\left[(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2\right]^2}
\end{eqnarray*}
Nach dem Vertauschbarkeitssatz von Schwarz gilt:
$$\frac{\partial^2 N_y}{\partial x_2 \partial x_1} = \frac{\partial^2 N_y}{\partial x_1 \partial x_2}, \text{ da } N_y \text{ eine } C^2 \text{-Funktion ist.}$$
\begin{eqnarray*}
	\frac{\partial^2 N_y}{\partial x_2^2} & = & \frac{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 - (x_2-y_2) \cdot 2(x_2-y_2)}{\left[(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2\right]^2} \\
	& = & \frac{(x_1-y_1)^2 - (x_2-y_2)^2}{\left[(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2\right]^2}
\end{eqnarray*}
Ergebnis:
$$
HN_y(x_1,x_2) = \left(\begin{array}{cc}\frac{-(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}{\left[(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2\right]^2} & \frac{-2(x_1-y_1)(x_2-y_2)}{\left[(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2\right]^2} \\[0.3cm] \frac{-2(x_1-y_1)(x_2-y_2)}{\left[(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2\right]^2} & \frac{(x_1-y_1)^2 - (x_2-y_2)^2}{\left[(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2\right]^2}\end{array}\right)
$$
Es gilt:
\begin{eqnarray*}
	\frac{\partial^2 N_y}{\partial x_2^2} & = & -\frac{\partial^2 N_y}{\partial x_1^2} \\
	\Leftrightarrow \frac{\partial^2 N_y}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 N_y}{\partial x_2^2} & = & 0
\end{eqnarray*}
Für den Laplace-Operator $\displaystyle \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}$, angewendet auf $N_y$ ergibt sich:
$$\Delta N_y = \frac{\partial^2 N_y}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 N_y}{\partial x_2^2} = 0$$
Demnach ist die auf $\SetR^2 \backslash \{y\}$ definierte Funktion $N_y(x) = ln \|x-y\|$ Lösung der Potentialgleichung $\Delta N_y=0$. Deshalb ist $N_y(x)$ auf
$\SetR^2 \backslash \{y\}$ harmonisch.

\end{document}