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\begin{document}

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\thispagestyle{empty}

\title{Mathematik für Informatiker II - Übungsblatt 4
	Übungsgruppe D5, Do 11-13 \\	
	Vogel}
\author{Jan Hendrik Dithmar (Matrikelnummer 2031259) \\
	Dirk Heine (Matrikelnummer 2030941)}
\date{}

\maketitle

\newpage

\section*{Aufgabe 1}
$$ y = \frac{x}{x+1}, \quad x \ne -1 $$
\begin{eqnarray*}
	xy-x+y & = & 0 \\
	(x,y) \left( \begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right) + (-1,1) \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right) & = & 0
\end{eqnarray*}
$$ A := \left(\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0\end{array}\right); \quad b := \left(\begin{array}{r}-1 \\ 1\end{array}\right) $$
Eigenwerte von $A$:
\begin{eqnarray*}
	det(A - \lambda \cdot I) & = & \left| \begin{array}{cc} -\lambda & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\lambda\end{array}\right| = 0 \\
	\lambda^2 - \frac{1}{4} & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \left(\lambda + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\lambda-\frac{1}{2}\right) & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \lambda_1 & = & -\frac{1}{2} \\
	\lambda_2 & = & \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
Ein Eigenvektor $v_1'$ zu $\lambda_1 = - \frac{1}{2}$:
$$ \left(\begin{array}{cc|c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\end{array}\right) \leadsto \left(\begin{array}{cc|c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) $$
z.B. $v_1' = \left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right)$, normiert: $\displaystyle v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{r}1 \\ -1\end{array}\right)$ \\
Ein Eigenvektor $v_2'$ zu $\lambda_2 = \frac{1}{2}$:
$$ \left(\begin{array}{rr|c}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0\end{array}\right) \leadsto \left(\begin{array}{rr|c}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) $$
z.B. $v_2' = \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array}\right)$, normiert: $\displaystyle v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array}\right)$
$$Q := (v_1|v_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right)$$
$Q$ ist eine orthogonale Matrix mit $det \: Q = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot (1+1) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$
\begin{eqnarray*}
	Q^TAQ & = & \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0\end{array}\right) \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \\
	& = & \left(\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right) \\
	& =: & \Lambda
\end{eqnarray*}
$$ \tilde{b} := Q^Tb = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}-1 \\ 1\end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{r}-2 \\ 0\end{array}\right)$$
Mit $z:=\left(\begin{array}{c}z_1 \\ z_2\end{array}\right):=Q^T\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)$ und $\tilde{b} = Q^Tb$ ergibt sich die Darstellung:
$$z^T \Lambda z + \tilde{b}^Tz = 0$$
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow (z_1, z_2) \left(\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}z_1 \\ z_2\end{array}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}(-2,0) \left(\begin{array}{c}z_1 \\ z_2\end{array}\right) & = & 0 \\
	-\frac{1}{2}z_1^2 + \frac{1}{2}z_2^2 - \sqrt{2} \cdot z_1 & = & 0 \\
	\frac{1}{2}z_2^2 - \frac{1}{2} \cdot \left(z_1^2 + 2\sqrt{2} \cdot z_1 +2 \right) +1 & = & 0 \\
	\frac{1}{2}z_2^2 - \frac{1}{2} \left(z_1 + \sqrt{2}\right)^2 +1 & = & 0 \\
	\frac{1}{2} \left(z_1 + \sqrt{2}\right)^2 - \frac{1}{2} z_2^2 - 1 & = & 0
\end{eqnarray*}
Setze: $\zeta_1 := z_1 + \sqrt{2}$ und $\zeta_2 := z_2$
$$\Rightarrow \frac{\zeta_1^2}{2} - \frac{\zeta_2^2}{2} - 1 = 0$$
$$\frac{\zeta_1^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2} - \frac{\zeta_2^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2} -1 = 0 \quad \text{Hyperbel}$$

\section*{Aufgabe 2}
$$q(x) = 3x^2 +6xy - 5y^2 + \frac{6}{5}\sqrt{10} \cdot x - \frac{18}{5} \sqrt{10}\cdot y - 10 = 0$$
Transformation der Quadrik $q(x)=0$ in Normalform: \\
Umbenennung der Variablen: $x := \left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2\end{array}\right) := \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)$.
$$ \Rightarrow q(x) = 3x_1^2 + 6x_1x_2 - 5x_2^2 + \frac{6}{5}\sqrt{10}\cdot x_1 - \frac{18}{5}\sqrt{10}\cdot x_2 - 10 = 0$$
Stelle $q(x)$ in der Form $q(x) = x^TAx + b^Tx +c = 0$ dar:
$$q(x) = (x_1,x_2) \left(\begin{array}{rr}3 & 3 \\ 3 & -5\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2\end{array}\right) + \frac{6}{5} \sqrt{10} (1,-3) \left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2\end{array}\right) - 10 = 0$$
$$ A:=\left(\begin{array}{rr}3 & 3 \\ 3 & -5\end{array}\right); \quad b:=\frac{6}{5}\sqrt{10}\left(\begin{array}{r}1 \\ -3\end{array}\right); \quad c = -10$$
Eigenwerte von $A$
\begin{eqnarray*}
	det(A - \lambda \cdot I) & = & \left| \begin{array}{cc} 3- \lambda & 3 \\ 3 & -5-\lambda\end{array} \right| = 0 \\
	(3-\lambda)(-5-\lambda)-9 & = & 0 \\
	\Leftrightarrow -15-3\lambda + 5\lambda + \lambda^2 -9 & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \lambda^2 + 2\lambda - 24 & = & 0 \\
	\Leftrightarrow (\lambda-4)(\lambda+6) & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \lambda_1 & = & 4 \\
	\lambda_2 & = & -6
\end{eqnarray*}
Ein Eigenvektor $v_1'$ zu $\lambda_1 = 4$:
$$\left(\begin{array}{rr|r}-1 & 3 & 0 \\ 3 & -9 & 0\end{array}\right) \leadsto \left(\begin{array}{rr|r}-1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$
z.B. $v_1' = \left(\begin{array}{c}3 \\ 1\end{array}\right)$; normiert: $\displaystyle v_1 = \frac{1}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{c}3 \\ 1\end{array}\right)$. \\
Ein Eigenvektor $v_2'$ zu $\lambda_2 = -6$:
$$\left(\begin{array}{cc|c} 9 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0\end{array}\right) \leadsto \left(\begin{array}{cc|c}9 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$
z.B. $v_2' = \left(\begin{array}{r}-1 \\ 3\end{array}\right)$; normiert: $\displaystyle v_2 = \frac{1}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{r}-1 \\ 3\end{array}\right)$.
$$ Q := \frac{1}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right) $$
Q ist eine orthogonale Matrix mit
\begin{eqnarray*}
	det \: Q & = & \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 (9+1) = \frac{1}{10} \cdot 10 = 1 \\ \\
	Q^TAQ & = & \frac{1}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{rr}3 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}3 & 3 \\ 3 & -5\end{array}\right) \frac{1}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{10} \left(\begin{array}{rr}3 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}12 & 6 \\ 4 & -18\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{10} \left(\begin{array}{rr}40 & 0 \\ 0 & -60\end{array}\right) \\
	& = & \left(\begin{array}{rr}4 & 0 \\ 0 & -6\end{array}\right) \\
	& =: & \Lambda \\ \\
	\tilde{b} & := & Q^Tb = \frac{1}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{rr}3 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right) \frac{6}{5}\sqrt{10} \left(\begin{array}{r}1 \\ -3\end{array}\right) \\
	& = & \frac{6}{5} \left(\begin{array}{r}0 \\ -10\end{array}\right) \\
	& = & \left(\begin{array}{r}0 \\ -12\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
Mit $y := Q^Tx$ und $\tilde{b} := Q^Tb$ ergibt sich aus $x^TAx + b^Tx + c = 0$ die Darstellung
$$ y^T\Lambda y + \tilde{b}^Ty +c =0 $$
\begin{eqnarray*}
	(y_1,y_2) \left(\begin{array}{rr}4 & 0 \\ 0 & -6\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}y_1 \\ y_2\end{array}\right) + (0,-12) \left(\begin{array}{c}y_1 \\ y_2\end{array}\right) -10 & = & 0 \\
	4y_1^2 - 6y_2^2 -12y_2 -10 & = & 0 \\
	4y_1^2 - 6 (y_2^2+2y_2+1)-10+6 & = & 0 \\
	4y_1^2 - 6 (y_2+1)^2 -4 & = & 0
\end{eqnarray*}
Setze $\eta_1 := y_1$ und $\eta_2 := y_2 +1$
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow 4\eta_1^2 - 6\eta_2^2-4 & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \eta_1^2 - \frac{3}{2}\eta_2^2 -1 & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \eta_1^2 - \frac{\eta_2^2}{\frac{6}{9}} - 1 & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \frac{\eta_1^2}{1^2} - \frac{\eta_2^2}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2} -1 & = & 0 \quad \text{Normalform}
\end{eqnarray*}
Es handelt sich um eine Hyperbel; sie hat den Mittelpunkt $M''(0|0)$. \\
Maß des Winkels $\varphi$ zwischen den Hauptachsen und den Koordinatenachsen des ursprünglichen Koordinatensystems: \\
Aus $\displaystyle Q = \frac{1}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right)$ folgt:
\begin{eqnarray*}
	cos(\varphi) = \frac{3}{\sqrt{10}} & \AND & sin(\varphi) = \frac{1}{\sqrt{10}} \\
	\Rightarrow \varphi & = & 18.43° \\
	\Rightarrow \varphi & = & 0.3222 rad
\end{eqnarray*}

\section*{Aufgabe 3}
Die Quadrik
$$q(\xi) = 4x^2 + 4xy + y^2 + 9z^2 + \sqrt{5}x - 2\sqrt{5} y + 36 z + 6 = 0$$
soll auf Normalform gebracht werden.\\[0.3cm]
Lösung:
$$q(\xi) = \xi^T A \xi + b^T \xi + c = 0$$
$$(x,y,z) \left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right) + (\sqrt{5}, -2\sqrt{5}, 36) \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right) + 6 = 0$$

$$A := \left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9\end{array}\right); \quad b = \left(\begin{array}{c}\sqrt{5} \\ -2 \sqrt{5} \\ 36\end{array}\right); \quad c = 6$$
Bemerkung: $rang(A) = 2$, also ein Eigenwert $=0$. \\
Eigenwerte von $A$:
\begin{eqnarray*}
	det(A - \lambda \cdot I) = \left| \begin{array}{ccc}4-\lambda & 2 & 0 \\ 2 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 9-\lambda\end{array}\right| & = & 0 \\
	(4-\lambda) \cdot (1-\lambda) \cdot (9-\lambda) - 4 \cdot (9-\lambda) & = & 0 \\
	\Leftrightarrow -\lambda^3 + 14\lambda^2 - 49 \lambda + 36 -36 + 4\lambda & = & 0 \\
	\Leftrightarrow -\lambda^3 + 14\lambda^2 -45 \lambda & = & 0 \\
	\Leftrightarrow -\lambda \cdot (\lambda^2 - 14\lambda +45) & = & 0 \\
	\Leftrightarrow -\lambda \cdot (\lambda-5) \cdot (\lambda-9) & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \lambda_3 & = & 0 \\
	\OR \lambda_2 & = & 5 \\
	\OR \lambda_1 & = & 9
\end{eqnarray*}
Ein Eigenvektor $v_1'$ zu $\lambda_1 = 9$:
$$\left( \begin{array}{rrr|r}-5 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & -8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \leadsto \left(\begin{array}{rrr|r}-5 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -36 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$
$v_1' = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$; normiert: $\displaystyle v_1 = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \sqrt{5}\end{array}\right)$ \\
Ein Eigenvektor $v_2'$ zu $\lambda_2 = 5$:
$$\left(\begin{array}{rrr|r}-1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0\end{array}\right) \leadsto \left(\begin{array}{rrr|r}-1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0\end{array}\right)$$
$v_2' = \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$; normiert: $\displaystyle v_2 = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ \\
Ein Eigenvektor $v_3'$ zu $\lambda_3 = 0$:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}4 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0\end{array}\right) \leadsto \left(\begin{array}{ccc|c}4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0\end{array}\right)$$
$v_3' = \left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$; normiert: $\displaystyle v_3 = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$
$$Q := \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ \sqrt{5} & 0 & 0\end{array}\right)$$
ist eine orthogonale Matrix mit
$$det \: Q = \frac{1}{5\sqrt{5}}(4\sqrt{5} + \sqrt{5}) = 1$$
\begin{eqnarray*}
	Q^TAQ & = & \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & \sqrt{5} \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9\end{array}\right) \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ \sqrt{5} & 0 & 0\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{5} \left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & \sqrt{5} \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}0 & 10 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 9\sqrt{5} & 0 & 0\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{5} \left(\begin{array}{ccc}45 & 0 & 0 \\ 0 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \\
	& = & \left(\begin{array}{ccc}9 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \\
	& =: & \Lambda
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	\tilde{b} := Q^T b & = & \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & \sqrt{5} \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\sqrt{5} \\ -2\sqrt{5} \\ 36\end{array}\right) \\
	& = & \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\begin{array}{c}36\sqrt{5} \\ 0 \\ -5\sqrt{5}\end{array}\right) \\
	& = & \left(\begin{array}{r}36 \\ 0 \\ -5\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
Mit $\eta := Q^T \xi$ und $\tilde{b} := Q^Tb$ ergibt sich aus $\xi^T A \xi + b^T \xi + c = 0$ die Darstellung
$$\eta^T \Lambda \eta + \tilde{b}^T \eta + c = 0$$
\begin{eqnarray*}
	(\eta_1, \eta_2, \eta_3) \left(\begin{array}{ccc}9 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3\end{array}\right) + (36, 0 ,-5) \left(\begin{array}{c}\eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3\end{array}\right) + 6 & = & 0 \\
	(9 \eta_1, 5 \eta_2, 0) \left(\begin{array}{c}\eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3\end{array}\right) + (36,0,-5) \left(\begin{array}{c}\eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3\end{array}\right) +6 & = & 0 \\
	9\eta_1^2 + 5\eta_2^2 + 36\eta_1 - 5\eta_3 +6 & = & 0 \\
	9 \cdot (\eta_1^2 + 4\eta_1 + 4) - 36 + 5\eta_2^2 - 5\eta_3 +6 & = & 0 \\
	9 \cdot (\eta_1+2)^2 + 5\eta_2^2 - 5\eta_3 -30 & = & 0 \\
	9 \cdot (\eta_1+2)^2 + 5\eta_2^2 - 5 \cdot (\eta_3 + 6) & = & 0
\end{eqnarray*}
Elimination der Konstanten durch $\eta_3' := \eta_3 + 6$
$$ \Rightarrow 9 \cdot (\eta_1 +2)^2 + 5\eta_2^2 - 5\eta_3' = 0 $$
Setze: $\xi_1 := \eta_1+2$ und $\xi_2 := \eta_2$ und $\xi_3 = \eta_3'$
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow 9\xi_1^2 + 5\xi_2^2 - 5\xi_3 & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \frac{\xi_1^2}{5} + \frac{\xi_2^2}{9} - \frac{1}{9} \xi_3 & = & 0 \\
	\Leftrightarrow \frac{\xi_1^2}{\left(\sqrt{5}\right)^2} + \frac{\xi_2^2}{3^2} - 2\cdot\frac{1}{18}\xi_3 & = & 0
\end{eqnarray*}
Es handelt sich um ein elliptisches Paraboloid
$$\frac{\xi_1^2}{a^2} + \frac{\xi_2^2}{b^2} - 2p\xi_3 = 0 \quad \text{mit } a=\sqrt{5}; \; b=3; \; p=\frac{1}{18}$$

\section*{Aufgabe 4}
$$ A := \left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right) \in \SetR^{3 \times 3}$$
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Gesamtnorm: $\|A\|_G = 3 \cdot 2 = 6$
	\item Zeilensummennorm: $\|A\|_Z = max\{2; 4; 4\} = 4$
	\item Frobeniusnorm: $\displaystyle \|A\|_F := \left(\sum_{j,k} |a_{jk}|^2\right)^\frac{1}{2}$
		$$ \|A\|_F = (1^2 + 1^2 + 0^2+ 1^2+ 2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2)^\frac{1}{2} = \sqrt{14}$$
	\item Spektralnorm: $\|A\|_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}$ \\
		Berechne $A^TA$:
		$$ A^TA = \left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}3 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & 4 \\ -1 & 4 & 5\end{array}\right)$$
		Eigenwerte von $A^TA$:
		\begin{eqnarray*}
			det(A^TA - \lambda \cdot I) & = & 0 \\
			\left| \begin{array}{ccc}3-\lambda & 2 & -1 \\ 2 & 6-\lambda & 4 \\ -1 & 4 & 5-\lambda \end{array}\right| & = & 0
		\end{eqnarray*}
		\begin{eqnarray*}
			\Rightarrow (3-\lambda)(6-\lambda)(5-\lambda)-8-8-(6-\lambda)-4(5-\lambda)-16(3-\lambda) & = & 0 \\
			\Leftrightarrow 90-18\lambda-45\lambda+9\lambda^2+5\lambda^2-\lambda^3-16-6+\lambda-20+4\lambda-48+16\lambda & = & 0 \\
			\Leftrightarrow -\lambda^3 + 14\lambda^2 -42 \lambda & = & 0 \\
			\Leftrightarrow -\lambda(\lambda^2-14\lambda+42) & = & 0 \\
			\Leftrightarrow \lambda_1 & = & 0 \\
			\OR \lambda^2-14\lambda +42 & = & 0 \\
			\lambda_{2,3} & = & 7 \pm \sqrt{7}
		\end{eqnarray*}
		$$max\{0; 7 + \sqrt{7}; 7 - \sqrt{7}\} = 7 + \sqrt{7} = \lambda_{max}(A^TA)$$
		$$\Rightarrow \|A\|_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^TA)} = \sqrt{7 + \sqrt{7}}$$
\end{enumerate}

\end{document}