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\begin{document}

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\thispagestyle{empty}

\title{Mathematik für Informatiker II - Übungsblatt 2
	Übungsgruppe D5, Do 11-13 \\	
	Vogel}
\author{Jan Hendrik Dithmar (Matrikelnummer 2031259) \\
	Dirk Heine (Matrikelnummer 2030941)}
\date{}

\maketitle

\newpage

\section*{Aufgabe 1}
Gegeben: $v_1 = (1,4,2)^T, \; v_2 = (-2, -1, 3)^T, \; v_3 = (14, -7, 7)^T, \; u = (5,2,9)^T \in \SetR^3$. \\
Zu zeigen: $\{v_1, v_2, v_3\}$ ist eine Orthogonalbasis des euklidischen Raumes $\SetR^3$.
\begin{enumerate}
	\item Zeige: $\{v_1, v_2, v_3\}$ ist linear unabhängig:
		\begin{eqnarray*}
			det(v_1,v_2,v_3) & = & \left|\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 14 \\ 4 & -1 & -7 \\ 2 & 3 & 7\end{array}\right| \\
			& = & -7 + 28 +168 + 28 +56 +21 \\
			& = & 294 \ne 0
		\end{eqnarray*}
		$\Rightarrow \{v_1,v_2,v_3\}$ ist linear unabhängig. \\
		Wegen $dim \; \SetR^3 = 3$ ist damit $\{v_1,v_2,v_3\}$ eine Basis des $\SetR^3$.
	\item Zeige: Die Basisvektoren sind paarweise orthogonal:
		\begin{eqnarray*}
			\langle v_1,v_2\rangle & = & -2 - 4 + 6 = 0 \\
			\langle v_2,v_3\rangle & = & -28 + 7 + 21 = 0 \\
			\langle v_1,v_3\rangle & = & 14 - 28 + 14 = 0
		\end{eqnarray*}
		Damit sind $v_1,v_2,v_3$ paarweise orthogonal. \\
	Insgesamt: $\{v_1,v_2,v_3\}$ ist eine Orthogonalbasis des $\SetR^3$.
	\item Ansatz: $$ u = \frac{\langle u, v_1\rangle}{\|v_1\|^2} v_1 + \frac{\langle u, v_2\rangle}{\|v_2\|2}v_2 + \frac{\langle u, v_3\rangle}{\|v_3\|^2}v_3$$
		\begin{eqnarray*}
			\langle u, v_1 \rangle & = & 5 + 8 + 18 = 31 \\
			\langle u, v_2 \rangle & = & -10 - 2 + 27 = 15 \\
			\langle u, v_3 \rangle & = & 70 - 14 + 63 = 119 \\
			\|v_1\|^2 = \langle v_1, v_1 \rangle & = & 1 + 16 + 4 = 21 \\
			\|v_2\|^2 = \langle v_2, v_2 \rangle & = & 4 + 1 + 9 = 14 \\
			\|v_3\|^2 = \langle v_3, v_3 \rangle & = & 196 + 49 +49 = 294
		\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
Ergebnis:
	\begin{eqnarray*}
		u & = & \frac{31}{21}v_1 + \frac{15}{14}v_2 + \frac{119}{294}v_3 \\
		u & = & \frac{31}{21}v_1 + \frac{15}{14}v_2 + \frac{17}{42}v_3 \\
		u & = & \frac{1}{42} \cdot (62v_1 + 45v_2 + 17v_3)
	\end{eqnarray*}

\section*{Aufgabe 2}
$P_2$ Prä-Hilbert-Raum der Polynome vom Grad $\le 2$ mit $\{u_1, u_2, u_3\} = \{1, x, x^2\}$ als Basis des $P_2$; Skalarprodukt
$\displaystyle \langle u,v \rangle := \int_0^1 u(x)v(x) dx$. \\
Bestimmung einer Orthogonalbasis $\{v_1,v_2,v_3\}$ des $P_2$ mit Hilfe des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahrens:
\begin{enumerate}
	\item Schritt:
		\begin{eqnarray*}
			v_1 & := & u_1 \\
			v_1 & := & 1
		\end{eqnarray*}
	\item Schritt:
		\begin{eqnarray*}
			v_2 & = & u_2 - \frac{\langle u_2, v_1 \rangle}{\|v_1\|^2}v_1 \\ \\
			\langle u_2, v_1 \rangle & = & \int_0^1 u_2(x) \cdot v_1(x) dx \\
			& = & \int_0^1 x \cdot 1 dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1 = \frac{1}{2} \\ \\
			\|v_1\|^2 = \langle v_1, v_1 \rangle & = & \int_0^1 (v_1(x))^2 dx \\
			& = & \int_0^1 1 dx = \left[x\right]_0^1 =1 \\ \\
			\Rightarrow v_2 & = & x - \frac{\frac{1}{2}}{1} \cdot 1 \\
			\Leftrightarrow v_2 & = & x - \frac{1}{2}
		\end{eqnarray*}
	\item Schritt:
		\begin{eqnarray*}
			v_3 & = & u_3 - \frac{\langle u_3, v_1 \rangle}{\|v_1\|^2}v_1 - \frac{\langle u_3, v_2 \rangle}{\|v_2\|^2}v_2 \\ \\
			\langle u_3, v_1 \rangle & =& \int_0^1 u_3(x) \cdot v_1(x) dx \\
			& = & \int_0^1 x_2 \cdot 1 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \frac{1}{3} \\ \\
			\langle u_3, v_2 \rangle & = & \int_0^1 x^2 \cdot \left( x-\frac{1}{2} \right) dx \\
			& = & \int_0^1 \left( x^3 - \frac{1}{2} x^2 \right) dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{6} x^3\right]_0^1 \\
			& = & \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12} \\ \\
			\|v_1\|^2 & = & 1 \\
			\|v_2\|^2 = \langle v_2, v_2 \rangle & = & \int_0^1 (v_2(x))^2 dx \\
			& = & \int_0^1 \left( x-\frac{1}{2} \right)^2 dx = \left[ \frac{1}{3} \left( x-\frac{1}{2}\right)^3\right]_0^1 \\
			& = & \frac{1}{3} \cdot \left[\left(\frac{1}{2}\right)^3 - \left( - \frac{1}{2}\right)^3\right] \\
			& = & \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] = \frac{1}{12} \\ \\
			\Rightarrow v_3 & = & x^2 - \frac{\frac{1}{3}}{1} \cdot 1 - \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}} \cdot \left( x-\frac{1}{2} \right) \\
			v_3 & = & x^2 - x + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \\
			v_3 & = & x^2 - x + \frac{1}{6}
		\end{eqnarray*}
Ergebnis: $\{v_1,v_2,v_3\}$ mit $v_1 := 1$, $v_2 := x - \frac{1}{2}$ und $v_3 := x^2-x+\frac{1}{6}$ ist die gesuchte Orthogonalbasis im $P_2$
(bezügl. $\langle \cdot, \cdot \rangle$).
\end{enumerate}

\section*{Aufgabe 3}
Lösung nach Satz 43.16: \\
$\displaystyle V=C\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ mit $\displaystyle \langle u,v \rangle := \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} u(x)v(x) dx$
ist ein Prä-Hilbert-Raum; sei $u = cos(x) \in V$; $W:= P_2 =$ Prä-Hilbert-Raum der Polynome vom Grad $\le 2$ im Intervall
$\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ist ein Unterraum von $V$.

\subsubsection*{(I)}
Bestimme zunächst eine Orthogonalbasis $\{v_1,v_2,v_3\}$ von $W$ mit Hilfe des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahrens: \\
Betrachte dazu die Basis $\{u_1,u_2,u_3\}=\{1,x,x^2\}$ von $W$:
\begin{enumerate}
	\item Schritt:
		$$ v_1 := u_1 \text{, also: } v_1 := 1 $$
	\item Schritt:
		\begin{eqnarray*}
			v_2 & = & u_2 - \frac{\langle u_2, v_1 \rangle}{\|v_1\|^2} \cdot v_1 \\ \\
			\|v_1\|^2 = \langle v_1, v_1 \rangle & = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx \\
			& = & \left[x\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \\
			& = & \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \\
			& = & \pi \\ \\
			\langle u_2, v_1 \rangle & = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x dx \\
			& = & \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \\
			& = & \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)^2 \\
			& = & 0 \\ \\
			\Rightarrow v_2 & = & u_2 - \frac{0}{\pi}\cdot v_1 \\
			& = & u_2 \\
			\Leftrightarrow v_2 & = & x
		\end{eqnarray*}
	\item Schritt:
		\begin{eqnarray*}
			v_3 & = & u_3 - \frac{\langle u_3, v_1 \rangle}{\|v_1\|^2} v_1 - \frac{\langle u_3, v_2 \rangle}{\|v_2\|^2} v_2 \\ \\
			\langle u_3, v_1 \rangle & = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} u_3(x) v_1(x)dx \\
			& = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx \\
			& = & 2 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx \\
			& = & 2 \cdot \left[\frac{1}{3}x^3 \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
			& = & 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi^8}{8} \\
			& = & \frac{\pi^3}{12} \\ \\
			\|v_1\|^2 & = & \pi \\ \\
			\langle u_3, v_2 \rangle & = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} u_3(x) v_2(x) dx \\
			& = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 dx \\
			& = & 0 \\ \\
			\|v_2\|^2 = \langle v_2,v_2 \rangle & = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (v_2(x))^2 dx \\
			& = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx \\
			& \stackrel{s.o.}{=} & \frac{\pi^3}{12} \\ \\
			\Rightarrow v_3 & = & x^2 - \frac{\frac{\pi^3}{12}}{\pi} \cdot 1 - \frac{0}{\frac{\pi^3}{12}} \cdot x \\
			\Leftrightarrow v_3 & = & x^2 - \frac{\pi^2}{12}
		\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
Ergebnis: $\{v_1,v_2,v_3\}$ mit $v_1 := 1$, $v_2 := x$ und $v_3 := x^2 - \frac{\pi^2}{12}$ ist Orthogonalbasis von $W$
(bezügl. $\langle \cdot, \cdot \rangle$).

\subsubsection*{(II)}
Die beste Approximation $v$ von $u=cos(x) \in V$ in $W$ ist
$$\displaystyle v = \underset{W}{proj} \, u = \sum_{i=1}^3 \frac{\langle u, v_i \rangle}{\|v_i\|^2}v_i$$
	\begin{eqnarray*}
		v = \underset{W}{proj} \, u & = & \frac{\langle u,v_1 \rangle}{\|v_1\|^2}v_1 + \frac{\langle u, v_2 \rangle}{\|v_2\|^2}v_2 + \frac{\langle u, v_3 \rangle}{\|v_3\|^2}v_3 \\ \\
		\langle u, v_1 \rangle & = & \langle cos(x), 1 \rangle = \int_{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} cos(x) dx \\
		& = & \left[sin(x)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \\
		& = & 1+1 \\
		& = & 2 \\ \\
		\langle u, v_2 \rangle & = & \langle cos(x), x \rangle = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{x \cdot cos(x)}_{\text{ung. Fkt.}} dx \\
		& = & 0 \\ \\
		\langle u, v_3 \rangle & = & \langle cos(x), x^2 - \frac{\pi^2}{12} \rangle = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 - \frac{\pi^2}{12} \right) \cdot cos(x) dx \\
		& = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cdot cos(x) dx - \frac{\pi^2}{12} \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} cos(x) dx \\
		& = & \frac{\pi^2 - 8}{2} - \frac{\pi^2}{12} \cdot \left[sin(x)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \\
		& = & \frac{\pi^2 - 8}{2} - \frac{\pi^2}{12} \cdot 2 \\
		& = & \frac{6\pi^2 - 48 - 2\pi^2}{12} \\
		& = & \frac{4\pi^2 - 48}{12} \\
		& = & \frac{\pi^2 - 12}{3}
	\end{eqnarray*}
	\begin{eqnarray*}
		\|v_1\|^2 = \langle v_1,v_1 \rangle & = & \langle 1,1 \rangle \\
		& = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx \\
		& = & \left[x\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \\
		& = & \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \\
		& = & \pi \\ \\
		\|v_2\|^2 = \langle v_2,v_2 \rangle & = & \langle x,x \rangle \\
		& = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx \\
		& = & 2 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx \\
		& = & 2 \cdot \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
		& = & \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi^3}{8} \\
		& = & \frac{\pi^3}{12} \\ \\
		\|v_3\|^2 = \langle v_3,v_3 \rangle & = & \langle x^2 - \frac{\pi^2}{12}, x^2 - \frac{\pi^2}{12} \rangle \\
		& = & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 - \frac{\pi^2}{12}\right)^2 dx \\
		& = & 2 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 - \frac{\pi^2}{12}\right)^2 dx \\
		& = & 2 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( x^4 - \frac{\pi^2}{6}x^2 + \frac{\pi^4}{144}\right) dx \\
		& = & 2 \cdot \left[\frac{1}{5}x^5 - \frac{\pi^2}{18}x^3 + \frac{\pi^4}{144}x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
		& = & 2 \cdot \left[\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi^5}{32} - \frac{\pi^2}{18} \cdot \frac{\pi^3}{8} + \frac{\pi^4}{144} \cdot \frac{\pi}{2}\right] \\
		& = & 2 \pi^5 \cdot \left[\frac{1}{160} - \frac{1}{144} + \frac{1}{288}\right] \\
		& = & 2 \pi^5 \cdot \frac{9-10+5}{1440} \\
		& = & 2 \pi^5 \cdot \frac{4}{1440} \\
		& = & \frac{\pi^5}{180}
	\end{eqnarray*}
Ergebnis:
\begin{eqnarray*}
	v & = & \underset{W}{proj}\, u = \frac{2}{\pi} \cdot 1 + \frac{0}{\frac{\pi^3}{12}} \cdot x + \frac{\frac{\pi^2-12}{3}}{\frac{\pi^5}{180}} \cdot \left( x^2 - \frac{\pi^2}{12} \right) \\
	v & = & \frac{2}{\pi} + \frac{(\pi^2 - 12) \cdot 180}{3\cdot\pi^5} \cdot \left(x^2 - \frac{\pi^2}{12}\right) \\
	v & = & \frac{2}{\pi} + 60 \cdot \frac{\pi^2 - 12}{\pi^5}\cdot x^2 - \frac{(\pi^2-12) \cdot 60 \cdot \pi^2}{\pi^5 \cdot 12} \\
	v & = & \frac{2}{\pi} - \frac{5\cdot(\pi^2-12)}{\pi^3} + 60 \cdot \frac{\pi^2-12}{\pi^5}\cdot x^2 \\
	v & = & \frac{2 \pi^2 - 5 \pi^2 + 60}{\pi^3} + 60 \cdot \frac{\pi^2-12}{\pi-5} \cdot x^2 \\
	v & = & \frac{60 - 3\pi^2}{\pi^3} + 60 \cdot \frac{\pi^2-12}{\pi^5} \cdot x^2 \\
	v(x) & = & 3 \cdot \frac{20 - \pi^2}{\pi^3} - 60 \cdot \frac{12-\pi^2}{\pi^5} \cdot x^2 \\
	v(x) & \approx & 0,9801624 - 0,4176978 \cdot x^2
\end{eqnarray*}

\section*{Aufgabe 4}
$$
	g(x)=\left\{ \begin{array}{r@{\quad , \quad}l} x & 0 \le x \le \pi \\ 2\pi -x & \pi < x \le 2\pi \end{array} \right.
$$
mit $g(x)$ stetig in $[0, 2\pi]$. \\
Entwicklung von $g$ auf $[0, 2\pi]$ in eine Fourierreihe:
\begin{eqnarray*}
	g(x) & = & \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot cos(kx) + b_k \cdot sin(kx)) \\
	\text{mit } a_0 & = & \frac{1}{\pi} \cdot \int_0^{2\pi} g(x) dx \\
	a_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \int_0^{2\pi} g(x) \cdot cos(kx) dx \quad , \; (k=1,2,...) \\
	b_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \int_0^{2\pi} g(x) \cdot sin(kx) dx \quad , \; (k=1,2,...) \\ \\
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item
	\begin{eqnarray*}
		a_0 & = & \frac{1}{\pi} \cdot \int_0^{2\pi} g(x) dx = \frac{1}{\pi} \cdot \left(\int_0^\pi x dx + \int_\pi^{2\pi} (2\pi-x)dx\right) \\
		a_0 & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left(\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^\pi + \left[2\pi x - \frac{1}{2}x^2\right]_\pi^{2\pi}\right) \\
		a_0 & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left(\frac{1}{2}\pi^2 + 4\pi^2 - 2\pi^2 - 2\pi^2 + \frac{1}{2}\pi^2\right) \\
		& = & \frac{1}{\pi}\cdot\pi^2 \\
		a_0 & = & \pi
	\end{eqnarray*}
\item
	\begin{eqnarray*}
		a_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \int_0^{2\pi} g(x) cos(kx) dx \\
		& = & \frac{1}{\pi} \cdot \left( \int_0^\pi x \cdot cos(kx) dx + \int_0^{2\pi} (2\pi -x) \cdot cos(kx) dx \right) \\
		& = & \frac{1}{\pi} \cdot \left( \int_0^\pi x \cdot cos(kx) dx + 2\pi \int_\pi^{2\pi} cos(kx) dx - \int_\pi^{2\pi} x \cdot cos(kx) dx \right)
	\end{eqnarray*}
	Zwischenrechnung:
	\begin{eqnarray*}
		\int x \cdot cos(kx) dx & = & x \cdot \frac{1}{k} sin(kx) - \frac{1}{k} \int sin(kx) dx \\
		& = & \frac{1}{k} x sin(kx) + \frac{1}{k^2} cos(kx)
	\end{eqnarray*}
	\begin{eqnarray*}
		\Rightarrow a_k & = & \frac{1}{\pi} \left( \left[\frac{1}{k} \cdot x \cdot sin(kx) + \frac{1}{k^2} \cdot cos(kx) \right]_0^\pi + \frac{2\pi}{k} \left[sin(kx)\right]_\pi^{2\pi} \right. \\
		& & \left. - \left[\frac{1}{k} \cdot x \cdot sin(kx) + \frac{1}{k^2} cos(kx)\right]_\pi^{2\pi}\right)
	\end{eqnarray*}
\subsubsection*{(a)}
Falls k gerade:
	\begin{eqnarray*}
		a_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{k^2} + \frac{2\pi}{k} [0-0] - \left[0+\frac{1}{k^2}-0-\frac{1}{k^2} \cdot 1\right] \right) \\
		a_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot 0 = 0
	\end{eqnarray*}
\subsubsection*{(b)}
Falls k ungerade:
	\begin{eqnarray*}
		a_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left(-\frac{1}{k^2} - \frac{1}{k^2} + \frac{2\pi}{k} \cdot 0 - \left[0 + \frac{1}{k^2} - 0 - \frac{1}{k^2} \cdot (-1)\right] \right) \\
		a_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left(-\frac{2}{k^2}-\frac{2}{k^2}\right) = \frac{1}{\pi} \cdot \left(-\frac{4}{k^2}\right) \\
		a_k & = & -\frac{4}{\pi \cdot k^2}
	\end{eqnarray*}
Anmerkung:
$$ sin(k \pi) = 0 \quad ; \quad sin(k \cdot 2\pi) = 0$$
$$ cos(k \pi) = \left\{ \begin{array}{r@{\quad , \quad}l} -1 & k \text{ ungerade} \\ 1 & k \text{ gerade}\end{array}\right. \quad ; \quad cos(k\cdot 2\pi) = 1$$
\item
	\begin{eqnarray*}
		b_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \int_0^{2\pi} g(x) sin(kx) dx \\
		b_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left( \int_0^\pi x \cdot sin(kx) dx + \int_\pi^{2\pi}(2\pi - x) sin(kx) dx \right) \\
		b_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left( \int_0^\pi x \cdot sin(kx) dx + 2\pi \cdot \int_\pi^{2\pi} sin(kx) dx - \int_\pi^{2\pi}x \cdot sin(kx)dx \right)
	\end{eqnarray*}
	Zwischenrechnung:
	\begin{eqnarray*}
		\int x \cdot sin(kx) dx & = & x \cdot \left( - \frac{1}{k} \right) cos(kx) + \frac{1}{k} \cdot \int cos(kx) dx \\
		& = & -\frac{1}{k} \cdot x \cdot cos(kx) + \frac{1}{k^2} \cdot sin(kx)
	\end{eqnarray*}
	\begin{eqnarray*}
		\Rightarrow b_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left( \left[-\frac{1}{k} \cdot x \cdot cos(kx) + \frac{1}{k^2} \cdot sin(kx) \right]_0^\pi - \frac{2\pi}{k} \cdot \left[cos(kx)\right]_\pi^{2\pi} \right. \\
		& & \left. + \left[\frac{1}{k} \cdot x \cdot cos(kx) - \frac{1}{k^2} \cdot sin(kx) \right]_\pi^{2\pi} \right)
	\end{eqnarray*}
\subsubsection*{(a)}
Falls k gerade:
	\begin{eqnarray*}
		b_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left( - \frac{1}{k} \cdot \pi - \frac{2\pi}{k} \cdot [1-1] + \left[\frac{1}{k} \cdot 2\pi - \frac{1}{k} \cdot \pi \cdot 1\right] \right) \\
		b_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left( - \frac{\pi}{k} + \frac{\pi}{k}\right) \\
		b_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot 0 = 0
	\end{eqnarray*}
\subsubsection*{(b)}
Falls k ungerade:
	\begin{eqnarray*}
		b_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left( \frac{1}{k}\pi - \frac{2\pi}{k} \cdot [1-(-1)] + \left[\frac{1}{k} \cdot 2 \pi + \frac{1}{k} \cdot \pi\right] \right) \\
		b_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot \left( \frac{\pi}{k} - \frac{4\pi}{k} + \frac{3\pi}{k} \right) \\
		b_k & = & \frac{1}{\pi} \cdot 0 = 0
	\end{eqnarray*}
Ergebnis:
\begin{eqnarray*}
	g(x) & = & \frac{\pi}{2} + \left(-\frac{4}{\pi \cdot 1^2}\right) cos(x) + \left(- \frac{4}{\pi \cdot 3^2} \right) \cdot cos(3x) + \left(-\frac{4}{\pi \cdot 5^2}\right) \cdot cos(5x) + ... \\
	g(x) & = & \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi} \cdot \left( \frac{cos(x)}{1^2} + \frac{cos(3x)}{3^2} + \frac{cos(5x)}{5^2}+... \right) \\
	g(x) & = & \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{cos(2k-1) \cdot x}{(2k-1)^2}
\end{eqnarray*}
Dies ist die gesuchte Fourier-Entwicklung von $g$ auf $[0,2\pi]$.
\end{enumerate}

\section*{Aufgabe 5}
Def.:\\
Eine Matrix $A \in \SetR^{n \times n}$ heißt invertierbar, wenn es ein $A' \in \SetR^{n \times n}$ gibt mit $A \cdot A' = A' \cdot A = I_n$
($I_n$ ist die $n$-reihige Einheitsmatrix).
\subsubsection*{(I)}
Satz: \\
Die Menge $GL(n, \SetR) := \{ A \in \SetR^{n \times n} | A \text{ ist invertierbar}\}$ mit der Multiplikation von Matrizen als Verknüpfung ist
eine Gruppe mit neutralem Element $I_n$. \\
Beweis: \\
(1) $GL(n, \SetR)$ ist bezügl. der Matrizenmultiplikation abgeschlossen, d.h. $A, B \in GL(n, \SetR) \Rightarrow A \cdot B \in GL(n, \SetR)$. \\
Begründung: Seien $A,B \in GL(n, \SetR) \Rightarrow A, B$ sind invertierbar $\stackrel{Def.}{\Leftrightarrow}$ es gibt
$A', B' \in \SetR^{n \times n}$, so dass gilt:
\begin{eqnarray*}
	A \cdot A' & = & A' \cdot A = I_n \\
	\AND B \cdot B' & = & B' \cdot B = I_n
\end{eqnarray*}
Mit $A',B' \in \SetR^{n \times n}$ ist auch $B' \cdot A' \in \SetR^{n \times n}$. Weiterhin gilt:
$$(B' \cdot A') \cdot (A \cdot B) \stackrel{(*)}{=} B' \cdot (A' \cdot A) \cdot B = B' \cdot I_n \cdot B = B' \cdot B = I_n$$
$(*)$: Assoziativität der Matrizenmultiplikation \\
Ebenso:
$$ (A \cdot B)(B' \cdot A') \stackrel{(*)}{=} A \cdot (B \cdot B') \cdot A' = A \cdot I_n \cdot A' = A \cdot A' = I_n$$
Damit ist gezeigt: $AB \in \SetR^{n \times n}$ ist invertierbar $\Leftrightarrow A \cdot B \in GL(n, \SetR)$. \\
(2) In $GL(n, \SetR)$ gilt das Assoziativgesetz, denn die Multiplikation von Matrizen ist sogar im $\SetR^{n \times n}$ assoziativ. \\
(3) Die $n$-reihige Einheitsmatrix $I_n$ ist neutrales Element in $GL(n, \SetR)$. \\
(4) Zu jedem Element $A \in GL(n, \SetR)$ existiert nach Definition von $GL(n, \SetR)$ ein Inverses $A' \in GL(n, \SetR)$. \\
Insgesamt: $GL(n, \SetR)$ ist mit der Multiplikation von Matrizen als Verknüpfung eine Gruppe.

\subsubsection*{(II)}
Betrachte $O(n) := \{ A \in \SetR^{n \times n} | A \text{ ist orthogonal}\}$. Gemäß Vorlesung, Satz 45.3 a und Bemerkung gilt:
$$ A \in O(n) \Leftrightarrow A \text{ ist invertierbar und } A^{-1} = A^T $$
$$ \Rightarrow O(n) = \{ A \in GL(n, \SetR) | A^{-1} = A^T\} $$
Zeige: $O(n)$ ist Untergruppe von $GL(n, \SetR)$. \\
Beweis:
\begin{enumerate}
	\item Seien $A,B \in O(n)$; zu zeigen: $A \cdot B \in O(n)$.
		$$A,B \in O(n) \Rightarrow A, B \in GL(n, \SetR)$$
		$$\Rightarrow A \cdot B \in GL(n, \SetR) \text{, da } GL(n, \SetR) \text{ Gruppe}$$
		$$\Rightarrow (A \cdot B)^{-1} \text{ existiert nach Definition von } GL(n, \SetR)$$
		$$\text{Es gilt: } (A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} = B^T \cdot A^T = (A \cdot B)^T \Rightarrow A \cdot B \in O(n)$$
	\item Sei $A \in O(n)$; zu zeigen: $A^{-1} \in O(n)$.
		$$A \in O(n) \Rightarrow A \in GL(n, \SetR) $$
		$$\Leftrightarrow A^{-1} \in GL(n, \SetR) \text{ existiert, da } GL(n, \SetR) \text{ Gruppe ist}$$
		$$\text{Es gilt: } (A^{-1})^{-1} = A = (A^T)^T = (A^{-1})^T \Rightarrow A^{-1} \in O(n)$$
\end{enumerate}
Damit ist gezeigt, dass $O(n)$ eine Untergruppe von $GL(n, \SetR)$ ist; somit hat $O(n)$ Gruppenstruktur. \\
Ergebnis:\\
Die Menge $O(n)$ der orthogonalen Matrizen ist mit der Matrixmultiplikation als Operation eine Gruppe.

\subsubsection*{(III)}
Betrachte $SO(n) := \{A \in O(n) | det(A) = 1\}$. \\
Zeige: $SO(n)$ ist Untergruppe von $O(n)$ (und somit auch Untergruppe von $GL(n, \SetR)$). \\
Beweis:
\begin{enumerate}
	\item Seiten $A, B \in SO(n)$; zu zeigen: $A \cdot B \in SO(n)$
		$$A, B \in SO(n) \Rightarrow A,B \in O(n)$$
		$$A \cdot B \in O(n) \text{, da } O(n) \text{ Gruppe}$$
		$$det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B) = \underbrace{1 \cdot 1}_{\text{da } A, B \in SO(n)} = 1$$
		$$\text{Wegen } det(A \cdot B) = 1 \Rightarrow A \cdot B \in SO(n)$$
	\item Sei $A \in SO(n)$; zu zeigen: $A^{-1} \in SO(n)$
		$$A \in SO(n) \Rightarrow A \in O(n)$$
		$$\Rightarrow A^{-1} \text{ existiert und } A^{-1} \in O(n) \text{, da } O(n) \text{ Gruppe}$$
		$$\Rightarrow det(A^{-1}) = (det(A))^{-1} = \underbrace{1^{-1}}_{\text{ da} A \in SO(n)} = 1$$
		$$\text{Wegen } det(A^{-1}) = 1 \Rightarrow A^{-1} \in SO(n)$$
\end{enumerate}
Damit ist gezeigt, dass $SO(n)$ eine Untergruppe von $O(n)$ und wegen (II) eine Untergruppe von $GL(n, \SetR)$ ist; somit hat $SO(n)$
Guppenstruktur. \\
Ergebnis: \\
Die Menge $SO(n)$ der orthogonalen Matrizen mit Determinante $=1$ ist mit der Matrixmultiplikation als Operation eine Gruppe. \QED

\end{document}