\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{ngerman,a4,amssymb,amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{enumerate}

\begin{document}

\newcommand{\AND}{\wedge}
\newcommand{\OR}{\vee}
\newcommand{\SetR}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\SetN}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\SetZ}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\SetC}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\thispagestyle{empty}

\title{Mathematik für Informatiker II - Übungsblatt 9 \\
	Übungsgruppe 1 - Mo, 14-16 Uhr \\
	Janko Böhm}
\author{Jan Hendrik Dithmar - Matrikelnummer 2031259}
\date{}

\maketitle

\newpage

\subsection*{Aufgabe 1}
Gegeben: X und Y unabhängige, identisch verteilte, kontinuierliche Zufallsvariablen.
Wie groß ist $P(X>Y)$?
\subsubsection*{Lösung}
$P(X>Y)=0,5$
\subsubsection*{Begründung, Beweis}
Dies ist offensichtlich, denn \\
X und Y sind gleich verteilt \\
$\Rightarrow P(X>Y) = P(Y>X) $\\
$\Rightarrow P(X>Y) = P(X<Y) = P(X \le Y) $, \quad da X, Z kontinuierliche Zufallsvariablen \\
und $P(X>Y) = 1 - P(X\le Y)$, \quad da $P(X \le Y)$ Gegenereignis von $P(X>Y)$
$\Rightarrow P(X>Y) = 1 - P(X>Y)$
$\Rightarrow P(X>Y) = 0,5$ \hfill $\Box$

\section*{Aufgabe 2}
Das Münzwurfexperiment wurde wie folgt durchgeführt: \\
Die Münze wurde auf den rechten Daumen gelegt und mit diesem in die Luft geschleudert. Im Fall wurde die Münze mit der rechten Hand gefangen und auf den linken Arm gelegt. Es wurde das folgende Ergebnis abgelesen: \\
1001001111 0100000011 1111010110 0000001001 0001001010 1101111110 0111001101 1000100000 1011010101 1010101010 \\
Gezählt wurde folgendes:
\begin{eqnarray*}
	\sharp \{Kopf\} & = & 52 \\
	\sharp \{Zahl\} & = & 48
\end{eqnarray*}
Somit ist die Differenz $D=\left| \sharp \{Kopf\} - \sharp \{Zahl\}\right|$:
$$D=\left| \sharp \{Kopf\} - \sharp \{Zahl\}\right| = \left|52-48\right| = 4$$

\section*{Aufgabe 5}
$X_1, X_2$ ZV mit Covarianzmatrix $\left(Cov(X_i,X_j)\right)_{i,j=1,2} = \left(\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1\end{array}\right)$. \\
$\Rightarrow Var(X_1)=1 \AND Var(X_2)=1 \AND Cov(X_1,X_2)=\frac{1}{2}$. \\ \\
Es gilt:
\begin{eqnarray*}
	Var(X_1-X_2) & = & E\left((X_1-X_2)^2\right) - \left(E(X_1-X_2)\right)^2 \\
	& = & E\left(X_1^2 - 2X_1X_2 + X_2^2\right) - \left(E(X_1)-E(X_2)\right)^2 \\
	& = & E\left(X_1^2\right) - 2\cdot E(X_1X_2) + E(X_2^2) \\
	& & -\left(E(X_1)\right)^2 + 2\cdot E(X_1)E(X_2) - \left(E(X_2)\right)^2 \\
	& = & Var(X_1) - 2 \cdot \left[E(X_1X_2) - E(X_1) \cdot E(X_2)\right] + Var(X_2) \\
	& = & Var(X_1) + Var(X_2) - 2\cdot E\left(X_1X_2-E(X_1)E(X_2)\right) \\
	& = & Var(X_1) + Var(X_2) - 2 \cdot Cov(X_1,X_2) \\
	& = & 1 + 1 - 2\cdot \frac{1}{2} \\
	& = & 1
\end{eqnarray*}

\end{document}