\documentclass[11pt]{article}

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\begin{document}

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\thispagestyle{empty}

\title{Mathematik für Informatiker II - Übungsblatt 7 \\
	Übungsgruppe 1 - Mo, 14-16 Uhr \\
	Janko Böhm}
\author{Jan Hendrik Dithmar - Matrikelnummer 2031259}
\date{}

\maketitle

\newpage

\section*{Aufgabe 1}
$r>0 \AND h>0$ gegeben.
\subsubsection*{(a)}
Zylinder: $Z=\{(x,y,z)\in\SetR^3 \mid x^2+y^2\le r^2 \AND z \in [0,h]\}$
Betrachte zwecks Transformation der Koordinaten $x,y,z$ auf Zylinderkoordinaten $\varrho, \varphi, z$ die Abbildung
$$\mathcal{Z}: \SetR^3\to\SetR^3 \text{ mit } \mathcal{Z}(\varrho, \varphi, z) = (\varrho \cdot cos(\varphi), \varrho \cdot sin(\varphi), z) = (\xi_1, \xi_2, \xi_3)$$
\paragraph{Funktional-Matrix der Abbildung $\mathcal{Z}$:}
\begin{eqnarray*}
	D\mathcal{Z}(\varrho, \varphi, z)
	& = & \left(\begin{array}{ccc}
	\frac{\partial \xi_1}{\partial \varrho} & \frac{\partial \xi_1}{\partial \varphi} & \frac{\partial \xi_1}{\partial z} \\
	\frac{\partial \xi_2}{\partial \varrho} & \frac{\partial \xi_2}{\partial \varphi} & \frac{\partial \xi_2}{\partial z} \\
	\frac{\partial \xi_3}{\partial \varrho} & \frac{\partial \xi_3}{\partial \varphi} & \frac{\partial \xi_3}{\partial z}
	\end{array}\right) \\
	& = & \left(\begin{array}{ccc}
	cos(\varphi) & -\varrho \cdot sin(\varphi) & 0 \\
	sin(\varphi) & \varrho \cdot cos(\varphi) & 0 \\
	0 & 0 & 1
	\end{array}\right) \\
	\Rightarrow det\, D\mathcal{Z}(\varrho, \varphi, z)
	& = & 1 \cdot \left| \begin{array}{cc}
	cos(\varphi) & -\varrho \cdot sin(\varphi) \\
	sin(\varphi) & \varrho \cdot cos(\varphi)
	\end{array} \right| \\
	& = & \varrho \cdot cos^2(\varphi) + \varrho \cdot sin^2(\varphi) \\
	& = & \varrho(cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi)) \\
	& = & \varrho
\end{eqnarray*}
Betrachte nun:
$$Z'=\{(\varrho \cdot cos(\varphi), \varrho \cdot sin(\varphi), z) \mid \varrho \in [0,r] \AND \varphi \in [0,2\pi] \AND z \in [0,h]\}$$
\paragraph{Dann gilt für $Vol(Z)$:}
\begin{eqnarray*}
	Vol(Z) & = & \int_z dV = \int_{z'}\varrho dV' \\
	& = & \int_0^h\left(\int_0^{2\pi}\left(\int_0^r \varrho \, d\varrho\right)d\varphi\right)dz \\
	& = & \int_0^h\left(\int_0^{2\pi}\left[\frac{1}{2}\varrho^2\right]_0^r d\varphi\right)dz \\
	& = & \int_0^h\left(\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}r^2 \, d\varphi\right)dz \\
	& = & \int_0^h\left[\frac{1}{2}r^2\cdot \varphi\right]_0^{2\pi}dz \\
	& = & \int_0^h\frac{1}{2}r^2\cdot 2\pi dz \\
	& = & \pi \cdot r^2 \cdot \int_0^h dz \\
	& = & \pi r^2 \cdot \left[z\right]_0^h \\
	& = & \pi r^2 h
\end{eqnarray*}
$$\text{Ergebnis: } Vol(Z) = \pi r^2 h$$

\subsubsection*{(b)}
Halbkugel: $HK = \{(x,y,z)\in\SetR^3 \mid x^2+y^2+z^2 \le r^2 \AND z \in [0,r] \}$. \\
Betrachte zwecks Transformation der Koordinaten $x,y,z$ auf Kugelkoordinaten $\varrho, \varphi, \vartheta$ die Abbildung
$$\Phi: \SetR^3 \to \SetR^3 \text{ mit } \Phi(\varrho, \varphi, \vartheta) = (\varrho \cdot cos(\varphi)cos(\vartheta), \varrho \cdot sin(\varphi)cos(\vartheta), \varrho \cdot sin(\vartheta))$$
In Übungsblatt 6, Aufgabe 5 wurde bewiesen, dass für die Determinante der Funktional-Matrix $D\Phi(\varrho, \varphi, \vartheta)$ der Abbildung $\Phi$ gilt:
$$det(D\Phi(\varrho, \varphi, \vartheta)) = \varrho^2 \cdot cos(\vartheta)$$
Betrachte nun:
$$HK' = \{(\varrho \cdot cos(\varphi)cos(\vartheta), \varrho \cdot sin(\varphi)cos(\vartheta), \varrho \cdot sin(\vartheta)) \mid \varrho \in [0,r] \AND \varphi \in [0,2\pi] \AND \vartheta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \}$$
\paragraph{Dann gilt für $Vol(HK)$:}
\begin{eqnarray*}
	Vol(HK) & = & \int_{HK}dV = \int_{HK'}\varrho^2 \cdot cos(\vartheta)dV' \\
	& = & \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\int_0^{2\pi}\left(\int_0^r \varrho^2 \cdot cos(\vartheta)d\varrho \right)d\varphi \right)d\vartheta \\
	& = & \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\int_0^{2\pi}\left[\frac{1}{3}\varrho^3 \cdot cos(\vartheta)\right]_0^r \, d\varphi\right) d\vartheta \\
	& = & \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\int_0^{2\pi}\frac{1}{3}r^3 \cdot cos(\vartheta) \, d\varphi\right) d\vartheta \\
	& = & \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[\left(\frac{1}{3}r^3 \cdot cos(\vartheta)\right) \cdot \varphi \right]_0^{2\pi} d\vartheta \\
	& = & \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{3}r^3 \cdot cos(\vartheta)\right)\cdot 2\pi \, d\vartheta \\
	& = & \frac{2}{3}\pi r^3 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}}cos(\vartheta) \, d\vartheta \\
	& = & \frac{2}{3}\pi r^3 \cdot \underbrace{\left[sin(\vartheta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}}_{=1} \\
	& = & \frac{2}{3}\pi r^3
\end{eqnarray*}
$$\text{Ergebnis: } Vol(HK) = \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^2 \cdot h \text{ mit } h=r$$

\newpage

\subsubsection*{(c)}

\begin{center}
	\begin{figure}
		\includegraphics[width=10cm]{7_1}
	\end{figure}
\end{center}
Die Gerade durch die Punkte $h$ und $r$ ist beschrieben durch die Gleichung
$$y=-\frac{r}{h}x+r, \; \; x \in [0,h]$$
Rotiert das markierte Dreieck um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskegel mit dem Grundkreisradius $r$ und der Höhe $h$.
Für das Kegelvolumen $Vol(K)$ ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
	Vol(K) & = & \pi \cdot \int_0^h y^2 dx \\
	& = & \pi \cdot \int_0^h \left(-\frac{r}{h}x+r\right)^2 dx \\
	& = & \pi \left[\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{h}{r}\right)\left(-\frac{r}{h}x+r\right)^3\right]_0^h \\
	& = & -\frac{1}{3}\pi\frac{h}{r}\left[0-r^3\right] \\
	& = & \frac{1}{3}\pi r^2 h
\end{eqnarray*}
$$\text{Ergebnis: } Vol(K) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$
\paragraph{Aus (a), (b) und (c) folgt:}
\begin{eqnarray*}
	Vol(Z) : Vol(HK) : Vol(K) & = & \frac{3}{2}\pi r^2 h : \frac{2}{3}\pi r^2 h : \frac{1}{3}\pi r^2 h \\
	& = & 3 : 2 : 1
\end{eqnarray*}

\section*{Aufgabe 3}
$$ T:=\{(x,y,z)\in\SetR^3 \mid (R^2-r^2+x^2+y^2+z^2)^2 \le 4R^2(x^2+y^2)\} \text{ mit Radien } R>r>0 $$
\paragraph{Führe folgende Koordinatentransformation durch:}
\begin{eqnarray*}
	\Phi: (\varrho, \varphi, \vartheta) & \mapsto & (\underbrace{(R+\varrho\cdot cos(\vartheta))cos(\varphi)}_{\Phi_1}, \underbrace{(R+\varrho\cdot cos(\vartheta))sin(\varphi)}_{\Phi_2},\underbrace{\varrho\cdot sin(\vartheta)}_{\Phi_3}) \\
	& & = (x,y,z) \text{ mit } \varrho\in[0,r], \varphi\in[0,2\pi], \vartheta\in[0,2\pi]
\end{eqnarray*}
\paragraph{Dann gilt:}
\begin{eqnarray*}
	& & R^2-r^2+x^2+y^2+z^2 \\
	& = & R^2-r^2+(R+\varrho\cdot cos(\vartheta))^2\cdot cos^2(\varphi) + (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))^2\cdot sin^2(\varphi) + \varrho^2\cdot sin^2(\vartheta) \\
	& = & R^2-r^2+(R+\varrho\cdot cos(\vartheta))^2 + \varrho^2\cdot sin^2(\vartheta) \\
	& = & R^2-r^2+R^2+2R\varrho\cdot cos(\vartheta)+\varrho^2\cdot cos^2(\vartheta)+\varrho^2\cdot sin^2(\vartheta) \\
	& = & 2R^2+2R\varrho \cdot cos(\vartheta) + \underbrace{\varrho^2-r^2}_{\le 0} \\
	& \le & 2R\cdot(\underbrace{R+\varrho\cdot cos(\vartheta)}_{>0}) = 2R\cdot\sqrt{x^2+y^2}
\end{eqnarray*}
$$\text{Also: } R^2-r^2+x^2+y^2+z^2 \le 2R\cdot\sqrt{x^2+y^2}$$
$$\Longrightarrow (R^2-r^2+x^2+y^2+z^2)^2 \le 4R^2\cdot(x^2+y^2) \text{ ist erfüllt.}$$
\paragraph{Berechne die Jacobi-Matrix $D\Phi(\varrho, \varphi, \vartheta)$:}
\begin{eqnarray*}
	D\Phi(\varrho,\varphi,\vartheta)
	& = & \left(\begin{array}{ccc}
	\frac{\partial\Phi_1}{\partial\varrho} & \frac{\partial\Phi_1}{\partial\varphi} & \frac{\partial\Phi_1}{\partial\vartheta} \\
	\frac{\partial\Phi_2}{\partial\varrho} & \frac{\partial\Phi_2}{\partial\varphi} & \frac{\partial\Phi_2}{\partial\vartheta} \\
	\frac{\partial\Phi_3}{\partial\varrho} & \frac{\partial\Phi_3}{\partial\varphi} & \frac{\partial\Phi_3}{\partial\vartheta}
	\end{array}\right) \\
	& = & \left(\begin{array}{ccc}
	cos(\vartheta)cos(\varphi) & -(R+\varrho\cdot cos(\vartheta))\cdot sin(\varphi) & -\varrho\cdot sin(\vartheta)cos(\varphi) \\
	cos(\vartheta)sin(\varphi) & (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))\cdot cos(\varphi) & -\varrho\cdot sin(\vartheta)sin(\varphi) \\
	sin(\vartheta) & 0 & \varrho\cdot cos(\vartheta)
	\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow det(D\Phi(\varrho, \varphi, \vartheta))
	& = & (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))\cdot\varrho\cdot cos^2(\vartheta)\cdot cos^2(\varphi) \\
	& & + (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))\cdot\varrho\cdot sin^2(\vartheta)\cdot sin^2(\varphi) \\
	& & + (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))\cdot\varrho\cdot sin^2(\vartheta)\cdot cos^2(\varphi) \\
	& & + (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))\cdot\varrho\cdot cos^2(\vartheta)\cdot sin^2(\varphi) \\ \\
	& = & (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))\cdot\varrho\cdot cos^2(\vartheta)\cdot(\underbrace{cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi)}_{=1}) \\
	& & + (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))\cdot\varrho\cdot sin^2(\vartheta)\cdot(\underbrace{sin^2(\varphi)+cos^2(\varphi)}_{=1}) \\ \\
	& = & (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))\cdot\varrho\cdot(\underbrace{cos^2(\vartheta)+sin^2(\vartheta)}_{=1}) \\
	& = & (\underbrace{R+\varrho\cdot cos(\vartheta)}_{>0})\cdot\varrho\ge0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow Vol(T)
	& = & \int_T dV = \int_0^{2\pi}\left(\int_0^{2\pi}\left(\int_0^r (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))\cdot\varrho\, d\varrho\right)d\varphi\right)d\vartheta \\
	& = & \int_0^{2\pi}\left(\int_0^{2\pi}\left(\int_0^r(R\cdot\varrho + \varrho^2\cdot cos(\vartheta))d\varrho\right)d\varphi\right)d\vartheta \\
	& = & \int_0^{2\pi}\left(\int_0^{2\pi}\left[\frac{1}{2}R\cdot\varrho^2+\frac{1}{3}\varrho^3\cdot cos(\vartheta)\right]_0^r d\varphi\right)d\vartheta \\
	& = & \int_0^{2\pi}\left(\int_0^{2\pi}\left(\frac{1}{2}Rr^2+\frac{1}{3}r^3\cdot cos(\vartheta)\right)d\varphi\right)d\vartheta \\
	& = & \int_0^{2\pi}\left(\frac{1}{2}Rr^2+\frac{1}{3}r^3\cdot cos(\vartheta)\right)\cdot 2\pi \: d\vartheta \\
	& = & 2\pi \cdot \left[\frac{1}{2}Rr^2\cdot\vartheta + \frac{1}{3}r^3\cdot sin(\vartheta)\right]_0^{2\pi} \\
	& = & 2\pi \cdot \left[\frac{1}{2}Rr^2\cdot2\pi\right] \\
	& = & 2\pi^2Rr^2
\end{eqnarray*}
$$\text{Ergebnis: } Vol(T) = 2\pi^2Rr^2$$
\paragraph{Berechnung des Trägheitsmoments des Torus bezgl. der z-Achse:}
\begin{eqnarray*}
	m & = & \int_T (x^2+y^2)dxdydz \\ \\
	x^2+y^2 & = & (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))^2\cdot cos^2(\varphi) + (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))^2\cdot sin^2(\varphi) \\
	& = & (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))^2 \cdot (\underbrace{cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi)}_{=1}) \\
	& = & (R+\varrho\cdot cos(\vartheta))^2 \\ \\
\Rightarrow m & = & \int_T(x^2+y^2)dxdydz = \int_T(R+\varrho\cdot cos(\vartheta))^2dV \\
	& = & \int_0^{2\pi}\left(\int_0^{2\pi}\left(\int_0^r(R+\varrho\cdot cos(\vartheta))^2\cdot(R+\varrho\cdot cos(\vartheta))\cdot\varrho\, d\varrho\right)d\varphi\right)d\vartheta
\end{eqnarray*}
\paragraph{Berechne zunächst:}
\begin{eqnarray*}
	& & \int_0^r(R+\varrho\cdot cos(\vartheta))^3\varrho \, d\varrho \\
	& = & \int_0^r (R^3\cdot\varrho + 3R^2\varrho^2\cdot cos(\vartheta) + 3R\varrho^3\cdot cos^2(\vartheta) + \varrho^4 cos^3(\vartheta))d\varrho \\
	& = & \left[\frac{1}{2}R^3\varrho^2 + R^2\varrho^3\cdot cos(\vartheta) + \frac{3}{4}R\varrho^4\cdot cos^2(\vartheta)+\frac{1}{5}\varrho^5\cdot cos^3(\vartheta)\right]_0^r \\
	& = & \frac{1}{2}R^3r^2+R^2r^3\cdot cos(\vartheta)+\frac{3}{4}Rr^4\cdot cos^2(\vartheta)+\frac{1}{5}r^5\cdot cos^3(\vartheta) \\
	& \Rightarrow & \int_0^{2\pi}\left(\int_0^r(R+\varrho\cdot cos(\vartheta))^3\cdot\varrho\, d\varrho\right)d\varphi \\
	& = & 2\pi \cdot \left[\frac{1}{2}R^3r^2+R^2r^3\cdot cos(\vartheta) + \frac{3}{4}Rr^4\cdot cos^2(\vartheta)+\frac{1}{5}r^5\cdot cos^3(\vartheta)\right] \; \; \; (*)
\end{eqnarray*}
Zur weiteren Berechnung werden $\int_0^{2\pi}cos^2(\vartheta)d\vartheta$ und $\int_0^{2\pi}cos^3(\vartheta)d\vartheta$ benötigt:
\begin{eqnarray*}
	\int cos^2(\vartheta)d\vartheta
	& = & \int \underbrace{cos(\vartheta)}_{u'} \cdot \underbrace{cos(\vartheta)}_{v}d\vartheta \\
	& = & sin(\vartheta)\cdot cos(\vartheta) - \int sin(\vartheta)\cdot(-sin(\vartheta))d\vartheta \\
	& = & sin(\vartheta)\cdot cos(\vartheta) + \int (1-cos^2(\vartheta))d\vartheta \\
	\Leftrightarrow 2\cdot \int cos^2(\vartheta)d\vartheta
	& = & sin(\vartheta)\cdot cos(\vartheta)+\vartheta \\
	\Leftrightarrow \int cos^2(\vartheta)d\vartheta
	& = & \frac{1}{2}(\vartheta+sin(\vartheta)cos(\vartheta))
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	\int cos^3(\vartheta)d\vartheta
	& = & \int cos(\vartheta)\cdot(1-sin^2(\vartheta))d\vartheta \\
	& = & \int cos(\vartheta)d\vartheta - \frac{1}{3}\int 3\cdot cos(\vartheta)\cdot sin^2(\vartheta)d\vartheta \\
	& = & sin(\vartheta) - \frac{1}{3}sin^3(\vartheta)
\end{eqnarray*}
$$\text{Also: } \int cos^3(\vartheta)d\vartheta = sin(\vartheta)-\frac{1}{3}sin^3(\vartheta)$$
\begin{eqnarray*}
	& \stackrel{(*)}{\Rightarrow} & 2\pi \int_0^{2\pi}\left(\frac{1}{2}R^3r^2+R^2r^3\cdot cos(\vartheta)+\frac{3}{4}Rr^4\cdot cos^2(\vartheta)+\frac{1}{5}r^5\cdot cos^3(\vartheta)\right)d\vartheta \\
	& = & 2\pi \left[\frac{1}{2}R^3r^2 \vartheta + R^2r^3 sin(\vartheta) + \frac{3}{4}Rr^4 \left(\frac{1}{2}\vartheta+\frac{1}{2}sin(\vartheta)cos(\vartheta)\right)+\frac{1}{5}r^5\left(sin(\vartheta)-\frac{1}{3}sin^3(\vartheta)\right)\right]_0^{2\pi} \\
	& = & 2\pi\cdot\left[\frac{1}{2}R^3r^22\pi+\frac{3}{4}Rr^4\frac{1}{2}2\pi\right] \\
	& = & 2\pi\cdot\left[\pi R^3r^2+\frac{3}{4}\pi Rr^4\right] \\
	& = & 2\pi^2Rr^2\left(R^2+\frac{3}{4}r^2\right)
\end{eqnarray*}
$$\text{Ergebnis: } m=\int_T(x^2+y^2)dxdydz = \frac{1}{2}\pi^2Rr^2\cdot\left[4R^2+3r^2\right]$$

\section*{Aufgabe 4}
Ich beweise zunächst den folgenden
\paragraph{Hilfssatz:} Ist $F:\SetR^n\to\SetR^n$ eine Abbildung, die im Punkt $a\in\SetR^n$ stetig ist, dann existiert zu jeder Umgebung $V$ von $F(a)$ eine Umgebung $U$ von $a$, sodass $F(U)\subset V$ ist.
\paragraph{Beweis:} Nach Vor. ist $F$ in $a$ stetig. \\
$\Leftrightarrow$ zu jedem $\varepsilon>0$ gibt es ein $\delta>0$, sodass $\forall x\in\SetR^n$ mit $\|x,a\|<\delta$ gilt: $$\|F(x),F(a)\|<\varepsilon$$
$\Leftrightarrow$ zu jeder $\varepsilon$-Umgebung $B(F(a),\varepsilon)$ von $F(a)$ gibt es eine $\delta$-Umgebung $B(a,\delta)$ von $a$, sodass $\forall x\in B(a,\delta)$ gilt: $$F(x) \in B(F(a),\varepsilon) \; \; \; (*)$$
Sei V eine beliebige Umgebung von $F(a)$. \\
$\Rightarrow$ es gibt ein $\varepsilon_0>0$, sodass gilt: $B(F(a),\varepsilon_0)\subset V$ \hfill $(1)$ \\
$\stackrel{(*)}{\Rightarrow}$ zu jeder $\varepsilon_0$-Umgebung $B(F(a),\varepsilon_0)$ von $F(a)$ gibt es eine Umgebung $U$, etwa $U:=B(a,\delta_0)$ von $a$, sodass $\forall x\in U$ gilt: $F(x)\in B(F(a),\varepsilon_0)$ \hfill $(2)$ \\
Aus $(2)$ und $(1) \Rightarrow F(U)\subset B(F(a),\varepsilon_0)\subset V$, also gilt:
$$F(U)\subset V$$
\paragraph{Voraussetzung:} $F:\SetR^n\to\SetR^n$ stetig und $K\subset R^n$ kompakt.
\paragraph{Behauptung:} $F(K)$ ist kompakt.
\paragraph{Beweis:} Zunächst wird gezeigt:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $V\subset R^n$ offen $\Rightarrow F^{-1}(V)$ offen
\paragraph{Beweis:} Sei $V\subset R^n$ offen und sei $a\in F^{-1}(V)$ beliebig. \\
$\Rightarrow F(a)\in V$ und $V$ ist Umgebung von $F(a)$, da eine offene Menge Umgebung jedes ihrer Punkte ist. Dann folgt aus dem Hilfssatz: \\
Zu der Umgebung $V$ von $F(a)$ existiert eine Umgebung $U$ von $a$, sodass $F(U)\subset V$ ist. \\
$\Rightarrow U\subset F^{-1}(V) \Rightarrow F^{-1}(V)$ ist Umgebung von $a$. Wegen $a\in F^{-1}(V)$ beliebig, ist also $F^{-1}(V)$ Umgebung jedes ihrer Punkte, d.h. $F^{-1}(V)$ ist offen.

\item Nun wird bewiesen, dass $F(K)$ kompakt ist:\\
Sei $K$ eine kompakte Teilmenge des $\SetR^n$ und sei $(V_i)_{i\in I}$ eine beliebig vorgegebene offene Überdeckung von $F(K)$, d.h. $F(K) \subset \bigcup_{i\in I} V_i$ und alle $V_i \subset \SetR^n$ sind offen. \\
$\stackrel{(I)}{\Rightarrow} U_i := F^{-1}(V_i)$ sind offen $\forall i \in I$. Außerdem:
$$K\subset F^{-1}\left(\bigcup_{i\in I} V_i\right) \subseteq \bigcup_{i\in I}F^{-1}(V_i) = \bigcup_{i\in I}U_i,$$
also ist $\bigcup_{i\in I} U_i$ eine offene Überdeckung von $K$.
Da $K$ n. Vor. kompakt ist, gib es eindlich viele Indizies $i_1,..., i_n \in I$, sodass $K \subset \bigcup_{k=1}^n U_{i_k}$, \\
$\Rightarrow F(K) \subset F(\bigcup_{k=1}^n U_{i_k}) \subseteq \bigcup_{k=1}^n F(U_{i_k}) = \bigcup_{k=1}^n V_{i_k}$. \\
Damit ist gezeigt, dass eine beliebig vorgegebene offene Überdeckung $\bigcup_{i\in I} V_i$ von $F(K)$ eine endliche Teilüberdeckung $\bigcup_{k=1}^n V_{i_k}$ enthält, d.h. $F(K)$ ist kompakt. \hfill $\Box$
\end{enumerate}

\section*{Aufgabe 5}
\paragraph{gegeben:}
\begin{eqnarray*}
	Z_1 & = & \{(x,y,z)\in\SetR^3 \mid x^2+y^2 \le 1\} \\
	Z_2 & = & \{(x,y,z)\in\SetR^3 \mid x^2+z^2 \le 1\}
\end{eqnarray*}
\paragraph{gesucht:} Volumen $V$ von $Z_1 \cap Z_2$.
$\overline{V}$ sei der im nicht-negativen Oktanten liegende Teil des räumlichen Bereichs $Z_1 \cap Z_2$.
\paragraph{Übergang zu Zylinderkoordinaten $r, \varphi, z$:}
$$x=r \cdot cos(\varphi); \; \; y=r \cdot sin(\varphi); \; \; z=z$$
\begin{eqnarray*}
	x^2+y^2 \le 1 & \Leftrightarrow & r^2 \cdot cos^2(\varphi) + r^2 \cdot sin^2(\varphi) \le 1 \\
	& \Leftrightarrow & r^2 \cdot (\underbrace{cos^2(\varphi) + sin^2(\varphi)}_{=1}) \le 1 \\
	& \Leftrightarrow & r^2 \le 1 \\
	& \stackrel{r\ge0}{\Longleftrightarrow} & 0 \le r \le 1
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	x^2+z^2 \le 1 & \Leftrightarrow & r^2 \cdot cos^2(\varphi) + z^2 \le 1 \\
	& \Leftrightarrow & z^2 \le 1-r^2 \cdot cos^2(\varphi) \\
	& \stackrel{z\ge0}{\Longleftrightarrow} & z \le \sqrt{1-r^2\cdot cos^2(\varphi)}
\end{eqnarray*}
$$\overline{V}' = \{(r \cdot cos(\varphi), r \cdot sin(\varphi), z) \mid \varphi \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \AND r \in [0,1] \AND z \in \left[0, \sqrt{1-r^2 \cdot cos^2(\varphi)}\right]\}$$
$\overline{\tau}$ sei das Volumen des im nicht negativen Oktanten des $xyz$-Raumes liegenden Bereiches $\overline{V}$.
\paragraph{Dann gilt für das Volument $\tau$ von $V=Z_1 \cap Z_2$:}
$$\tau = 8 \cdot \overline{\tau}$$
\paragraph{Es gilt:}
\begin{eqnarray*}
	\overline{\tau} & = & \int_{\overline{V}} d\overline{\tau} = \int_{\overline{V}'} r d\tau' \\
	& = & \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\int_0^1 \left(\int_0^{\sqrt{1-r^2\cdot cos^2(\varphi)}} r dz\right)dr\right)d\varphi \\
	& = & \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\int_0^1 \left[r \cdot z\right]_0^{\sqrt{1-r^2\cdot cos^2(\varphi)}} dr\right) d\varphi \\
	\overline{\tau} & = & \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\int_0^1 r \sqrt{1-r^2 \cdot cos^2(\varphi)} dr\right) d\varphi
\end{eqnarray*}
\paragraph{Löse zuerst:} $\int_0^1 r\cdot\sqrt{1-r^2\cdot cos^2(\varphi)}dr$
\begin{eqnarray*}
	\int_0^1 r\cdot\sqrt{1-r^2\cdot cos^2(\varphi)}dr & = & -\frac{1}{3\cdot cos^2(\varphi)} \cdot \int_0^1 -3r \cdot cos^2(\varphi) \cdot \sqrt{1-r^2\cdot cos^2(\varphi)}dr \\
	& = & -\frac{1}{3 cos^2(\varphi)} \cdot \left[(1-r^2 \cdot cos^2(\varphi))^\frac{3}{2}\right]_0^1 \\
	& = & -\frac{1}{3 cos^2(\varphi)} \cdot \left[(\underbrace{1-cos^2(\varphi)}_{=sin^2(\varphi)})^{\frac{3}{2}}-1\right] \\
	& = & -\frac{1}{3 cos^2(\varphi)} \cdot \left[(sin^2(\varphi))^{\frac{3}{2}}-1\right] \\
	& = & \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{cos^2(\varphi)} \cdot \left(1-sin^3(\varphi)\right) \\
	& = & \frac{1}{3} \cdot \frac{1-sin^3(\varphi)}{1-sin^2(\varphi)} \\
	& = & \frac{1}{3} \cdot \frac{(1-sin(\varphi))(sin^2(\varphi)+sin(\varphi)+1)}{(1-sin(\varphi))(1+sin(\varphi))} \\
	& = & \frac{1}{3} \cdot \frac{sin^2(\varphi)+sin(\varphi)+1}{sin(\varphi)+1} \\
	& = & \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{sin(\varphi)\cdot(1+sin(\varphi))}{1+sin(\varphi)}+\frac{1}{1+sin(\varphi)}\right) \\
	& = & \frac{1}{3} \cdot \left(sin(\varphi) + \frac{1}{1+sin(\varphi)}\right) \\
	\Rightarrow \frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(sin(\varphi)+\frac{1}{1+sin(\varphi)}\right)d\varphi & = & \frac{1}{3}\cdot\left[-cos(\varphi)-\frac{2}{1+tan(\frac{\varphi}{2})}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
	& = & \frac{1}{3} \cdot \left[-cos(\varphi)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-\frac{2}{3}\cdot\left[\frac{1}{1+tan(\frac{\varphi}{2})}_0^{\frac{\pi}{2}}\right] \\
	& = & \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot \left[ \frac{1}{2}-1 \right] \\
	& = & \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{3} = \overline{\tau}
\end{eqnarray*}
$$\Rightarrow \tau = 8 \cdot \overline{\tau} = \frac{16}{3}$$


\end{document}