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\begin{document}

\small

\begin{itemize}

\item
  (Binomischer Lehrsatz) Seien $ \displaystyle x,y $ reelle Zahlen und $ \displaystyle n $ eine nat"urliche Zahl. Dann gilt
  \begin{displaymath}
    (x+y)^n=\sum^n_{k=0} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) x^{n-k} y^k
  \end{displaymath}

\item
  (Geometrische Reihe) F"ur $ \displaystyle x \neq 1 $ und jede nat"urliche Zahl $ \displaystyle n $ gilt:
  \begin{displaymath}
    \sum^n_{k=0} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}
  \end{displaymath}

\item
  ($ \displaystyle \varepsilon $-Kriterium) Sei $ \displaystyle (a_n)_{n\epsilon\mathbb{N}} $ eine Folge reeller Zahlen. Die Folge hei"st konvergent gegen $ \displaystyle a \epsilon \mathbb{R} $, falls gilt: Zu jedem $ \displaystyle \varepsilon > 0 $ existiert ein $ \displaystyle N\epsilon\mathbb{N} $, so dass
  \begin{displaymath}
    |a_n -a| < \varepsilon
  \end{displaymath}
  f"ur alle $ \displaystyle n \ge N $

\item
  (Cauchy-Konvergenz-Kriterium) Sei $ \displaystyle (a_n)_{n\epsilon\mathbb{N}} $ eine Folge reeller Zahlen. Die Reihe $ \displaystyle \sum^\infty_{n=0} a_n $ konvergiert genau dann, wenn gilt: Zu jedem $ \displaystyle \varepsilon > 0 $ existiert ein $ \displaystyle N\epsilon\mathbb{N} $, so dass
  \begin{displaymath}
    |\sum^n_{k=m} a_k | < \varepsilon
  \end{displaymath}
  f"ur alle $ \displaystyle n \ge m \ge N $

\item
  (Quotientenkriterium) Sei $ \displaystyle \sum^\infty_{n=0} a_n $ eine Reihe mit $ \displaystyle a_n \neq 0 $ f"ur alle $ \displaystyle n \ge n_0 $. Es gebe eine reelle Zahl $ \displaystyle q $ mit $ \displaystyle 0 < q < 1 $, so dass
  \begin{displaymath}
    |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \le q
  \end{displaymath}
  f"ur alle $ \displaystyle n \ge n_0 $. Dann konvergiert $ \displaystyle \sum^\infty_{n=0} a_n $ absolut.

\item
  (Leibniz-Konvergenz-Kriterium) Sie $ \displaystyle (a_n)_{n\epsilon\mathbb{N}} $ eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $. Dann konvergiert die alternierende Reihe
  \begin{displaymath}
    \sum^\infty_{n=0} (-1)^n a_n
  \end{displaymath}

\item
  (Majoranten-Kriterium) Sei $ \displaystyle \sum^\infty_{n=0} c_n $ eine konvergente Reihe mit lauter nicht-negativen Gliedern und $ \displaystyle (a_n)_{n\epsilon\mathbb{N}} $ eine Folge mit
  \begin{displaymath}
    |a_n| \le c_n
  \end{displaymath}
  f"ur alle $ \displaystyle n\epsilon\mathbb{N} $. Dann konvergiert die Reihe $ \displaystyle \sum^\infty_{n=0} a_n $ absolut.

\item
  (Limes superior, Limes inferior) Sei $ \displaystyle (a_n)_{n\epsilon\mathbb{N}} $ eine Folge reeller Zahlen. Dann definiert man
  \begin{displaymath}
    \limsup_{n \to \infty} a_n := \lim_{n \to \infty}(sup\{a_k:k \ge n \}) \; \liminf_{n \to \infty} a_n := \lim_{n \to \infty}(inf\{a_k:k \ge n \})
  \end{displaymath}

\end{itemize}

\end{document}